Determine um intervalo (a, b) e uma função de iteração varphi(x) associada, de tal forma que forall x0 in(a, b) a função de iteração gere uma sequência convergente para a(s) raiz(es) de cada uma das funções abaixo, usando o método iterativo linear (MIL).
f(x)=raizx-e^-x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um intervalo (a, b) e uma função de iteração varphi(x) de modo que, para qualquer x0 dentro desse intervalo, a sequência gerada pela iteração convirja para a raiz da função f(x) = raizx - e^-x. Para isso, vamos usar o Método Iterativo Linear (MIL), que é uma forma de encontrar raízes de equações usando iterações repetidas.

Passo 2

Primeiro, precisamos transformar a equação f(x) = 0 em uma forma x = varphi(x), que é essencial para aplicar o método iterativo. A função dada é f(x) = raizx - e^-x, então vamos rearranjá-la:
raizx = e^-x
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x = e^-2x
Assim, podemos definir nossa função de iteração como:
varphi(x) = e^-2x

Passo 3

Agora, precisamos determinar o intervalo (a, b) onde a iteração vai convergir para a raiz. Para isso, é importante que a derivada de varphi(x) em todo o intervalo satisfaça |varphi'(x)| < 1, garantindo a convergência.
Primeiro, calculamos a derivada de varphi(x):
varphi'(x) = ddx e^-2x = -2e^-2x
Para que |varphi'(x)| < 1:
| -2e^-2x | < 1 Rightarrow 2e^-2x < 1 Rightarrow e^-2x < 12
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
-2x < ln(12) Rightarrow -2x < -ln(2) Rightarrow x > ln(2)2
Então, nosso intervalo (a, b) deve ser tal que x > ln(2)2. Além disso, sabemos que a função f(x) está definida para x >= 0 (porque temos a raiz quadrada de x). Então, podemos escolher:
a = ln(2)2 e b = 1

Passo 4

Com isso, definimos nossa função de iteração e o intervalo onde a sequência vai convergir para a raiz de f(x). Resumindo:
varphi(x) = e^-2x
(a, b) = ( ln(2)2, 1 )

Resposta

O intervalo escolhido é ( ln(2)2, 1 ) e a função de iteração associada é varphi(x) = e^-2x. Assim, para qualquer x0 nesse intervalo, a sequência gerada por xn+1 = e^-2xn converge para a raiz da função f(x) = raizx - e^-x.

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