Determine um intervalo
e uma função de iteração
associada, de tal forma que
a função de iteração gere uma sequência convergente para a(s) raiz(es) de cada uma das funções abaixo, usando o método iterativo linear (MIL).
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um intervalo
e uma função de iteração
de modo que, para qualquer
dentro desse intervalo, a sequência gerada pela iteração convirja para a raiz da função
. Para isso, vamos usar o Método Iterativo Linear (MIL), que é uma forma de encontrar raízes de equações usando iterações repetidas.
Passo 2
Primeiro, precisamos transformar a equação
em uma forma
, que é essencial para aplicar o método iterativo. A função dada é
, então vamos rearranjá-la:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Assim, podemos definir nossa função de iteração como:
Passo 3
Agora, precisamos determinar o intervalo
onde a iteração vai convergir para a raiz. Para isso, é importante que a derivada de
em todo o intervalo satisfaça
, garantindo a convergência.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Para que
:
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Então, nosso intervalo
deve ser tal que
. Além disso, sabemos que a função
está definida para
(porque temos a raiz quadrada de
). Então, podemos escolher:
Passo 4
Com isso, definimos nossa função de iteração e o intervalo onde a sequência vai convergir para a raiz de
. Resumindo:
Resposta
O intervalo escolhido é
e a função de iteração associada é
. Assim, para qualquer
nesse intervalo, a sequência gerada por
converge para a raiz da função
.