Seja
. Obtenha as possíveis funções de iteração para o método de ponto fixo que podem ser deduzidos imediatamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = 1 + x + x e^{x} $ e precisa encontrar as possíveis funções de iteração para o método de ponto fixo que podemos deduzir de imediato. Vamos usar conceitos de métodos numéricos, especificamente o método do ponto fixo, que ajuda a encontrar soluções de equações do tipo $ x = g(x) $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método de ponto fixo. Esse método busca encontrar um valor de $ x $ que satisfaça $ x = g(x) $. Ou seja, a solução é um ponto fixo da função $ g(x) $. Para aplicar esse método, precisamos reescrever nossa equação original de forma que $ x $ esteja isolado de um lado.
Passo 3
No nosso caso, temos $ f(x) = 1 + x + x e^{x} $. Para aplicar o método de ponto fixo, precisamos expressar essa função de forma que fique igual a $ x $. Vamos rearranjar:
Isso nos dá a equação que queremos resolver usando o método de ponto fixo.
Passo 4
Agora, precisamos expressar $ x $ em termos de uma função $ g(x) $. Existem várias maneiras de fazer isso, dependendo de como isolamos $ x $. Vamos tentar algumas opções:
Opção 1: Isolar $ x $ diretamente
Aqui, não conseguimos isolar $ x $ facilmente porque ele aparece de forma linear e exponencial na expressão.
Opção 2: Expressar $ g(x) $ em termos de $ x $
Podemos rearranjar a equação para obter:
Assim, a função de iteração seria $ g(x) = 1 + x + x e^{x} $.
Opção 3: Tentar fatorar $ x $
Vamos ver se conseguimos fatorar algum termo:
Ainda assim, não conseguimos isolar $ x $ de forma simples.
Passo 5
Observando as opções acima, a única forma direta que conseguimos expressar $ g(x) $ é:
Portanto, essa é a função de iteração que podemos deduzir imediatamente para o método de ponto fixo com a função dada.
Resposta
A função de iteração para o método de ponto fixo é $ g(x) = 1 + x + x e^{x} $.