Determine um intervalo (a, b) e uma função de iteração varphi(x) associada, de tal forma que forall x0 in(a, b) a função de iteração gere uma sequência convergente para a(s) raiz(es) de cada uma das funções abaixo, usando o método iterativo linear (MIL).
f(x)=e^x / 2-x^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um intervalo (a, b) e uma função de iteração varphi(x) para a função f(x) = e^x / 2 - x^3, de forma que, começando com qualquer ponto dentro desse intervalo, a sequência gerada pela iteração chegue perto da raiz de f(x) usando o Método Iterativo Linear (MIL). Vamos precisar entender sobre métodos de iteração para encontrar raízes de funções e como escolher uma função de iteração que funcione bem nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a raiz de f(x). Queremos encontrar x tal que f(x) = 0, ou seja:
e^x/2 - x^3 = 0 implies e^x/2 = x^3
Essa equação pode não ter uma solução fácil de encontrar algebraicamente, então vamos analisar graficamente para ter uma ideia de onde a raiz está. Ao plotar e^x/2 e x^3, observamos que elas se intersectam em algum ponto positivo próximo a x = 1.

Passo 3

Agora, vamos escolher uma função de iteração varphi(x). O Método Iterativo Linear geralmente usa a fórmula:
varphi(x) = x - lambda f(x)
onde lambda é uma constante escolhida para garantir a convergência da sequência. Vamos escolher lambda de forma que a derivada de varphi(x) no ponto fixo (a raiz) seja menor que 1 em módulo.
Primeiro, calculamos a derivada de f(x):
f'(x) = 12e^x/2 - 3x^2
No ponto onde e^x/2 = x^3, substituímos:
f'(x) = 12x^3 - 3x^2 = x^2( x2 - 3 )
Queremos que |1 - lambda f'(x)| < 1 para garantir a convergência. Uma escolha comum é lambda = 1f'(x), mas isso pode ser complicado. Em vez disso, vamos tentar lambda = 2x^3, baseado na igualdade e^x/2 = x^3.
Então, nossa função de iteração fica:
varphi(x) = x - 2x^3 ( e^x/2 - x^3 )
Simplificando:
varphi(x) = x - 2e^x/2x^3 + 2

Passo 4

Agora, precisamos escolher um intervalo (a, b) onde essa iteração vai convergir para a raiz. Observando que a raiz está próxima de x=1, vamos testar valores próximos a esse ponto.
Vamos escolher a = 0.5 e b = 2. Nesse intervalo, a função f(x) muda de negativa para positiva e vice-versa, indicando a presença de uma raiz.

Passo 5

Para garantir que a iteração vai convergir, verificamos a condição:
| varphi'(x) | < 1 para todo x in (a, b)
Calculando a derivada de varphi(x):
varphi'(x) = 1 - 2x^3 cdot 12e^x/2 + 6e^x/2x^4
Simplificando:
varphi'(x) = 1 - e^x/2x^3 + 6e^x/2x^4 = 1 + 5e^x/2x^4
Para x próximo a 1, e^x/2 é aproximadamente e^0.5 approx 1.65, e x^4 é aproximadamente 1. Portanto:
| varphi'(1) | approx |1 + 5 times 1.651| = |1 + 8.25| = 9.25
Isso é maior que 1, o que indica que a nossa escolha de lambda não garante a convergência. Precisamos ajustar lambda para que a derivada de varphi(x) seja menor que 1 em módulo.

Passo 6

Vamos optar por outra forma de varphi(x). Uma escolha comum é isolar x em uma das partes da equação f(x) = 0. Vamos reescrever:
e^x/2 = x^3 implies x = ( e^x/2 )^1/3
Então, podemos definir:
varphi(x) = ( e^x/2 )^1/3
Agora, vamos verificar a derivada de varphi(x):
varphi'(x) = 13 ( e^x/2 )^-2/3 cdot 12 e^x/2 = 16 ( e^x/2 )^-2/3 e^x/2 = 16 ( e^x/2 )^-1/3
Para x próximo a 1:
varphi'(1) approx 16 ( 1.65 )^-1/3 approx 16 times 0.85 approx 0.14
Como 0.14 < 1, a condição de convergência está satisfeita.

Resposta

Portanto, podemos escolher o intervalo (a, b) = (0.5, 2) e a função de iteração associada é:
varphi(x) = ( e^x/2 )^1/3
Com esses parâmetros, para qualquer x0 in (0.5, 2), a sequência gerada pela iteração varphi(x) irá convergir para a raiz da função f(x) = e^x/2 - x^3 usando o Método Iterativo Linear.

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