Determine um intervalo
e uma função de iteração
associada, de tal forma que
a função de iteração gere uma sequência convergente para a(s) raiz(es) de cada uma das funções abaixo, usando o método iterativo linear (MIL).
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um intervalo
e uma função de iteração
para a função
, de forma que, começando com qualquer ponto dentro desse intervalo, a sequência gerada pela iteração chegue perto da raiz de
usando o Método Iterativo Linear (MIL). Vamos precisar entender sobre métodos de iteração para encontrar raízes de funções e como escolher uma função de iteração que funcione bem nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a raiz de
. Queremos encontrar
tal que
, ou seja:
Essa equação pode não ter uma solução fácil de encontrar algebraicamente, então vamos analisar graficamente para ter uma ideia de onde a raiz está. Ao plotar
e
, observamos que elas se intersectam em algum ponto positivo próximo a
.
Passo 3
Agora, vamos escolher uma função de iteração
. O Método Iterativo Linear geralmente usa a fórmula:
onde
é uma constante escolhida para garantir a convergência da sequência. Vamos escolher
de forma que a derivada de
no ponto fixo (a raiz) seja menor que 1 em módulo.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
No ponto onde
, substituímos:
Queremos que
para garantir a convergência. Uma escolha comum é
, mas isso pode ser complicado. Em vez disso, vamos tentar
, baseado na igualdade
.
Então, nossa função de iteração fica:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos escolher um intervalo
onde essa iteração vai convergir para a raiz. Observando que a raiz está próxima de
, vamos testar valores próximos a esse ponto.
Vamos escolher
e
. Nesse intervalo, a função
muda de negativa para positiva e vice-versa, indicando a presença de uma raiz.
Passo 5
Para garantir que a iteração vai convergir, verificamos a condição:
Calculando a derivada de
:
Simplificando:
Para
próximo a 1,
é aproximadamente
, e
é aproximadamente 1. Portanto:
Isso é maior que 1, o que indica que a nossa escolha de
não garante a convergência. Precisamos ajustar
para que a derivada de
seja menor que 1 em módulo.
Passo 6
Vamos optar por outra forma de
. Uma escolha comum é isolar
em uma das partes da equação
. Vamos reescrever:
Então, podemos definir:
Agora, vamos verificar a derivada de
:
Para
próximo a 1:
Como
, a condição de convergência está satisfeita.
Resposta
Portanto, podemos escolher o intervalo
e a função de iteração associada é:
Com esses parâmetros, para qualquer
, a sequência gerada pela iteração
irá convergir para a raiz da função
usando o Método Iterativo Linear.