Exercício 12
[Manual] Use o método do Ponto Fixo para determinar a solução com uma precisão de 10^-2 para x^4-3 x^2-3=0 cm [1.2]. Use p0=1.

Passo 1

Beleza, então a gente tem o exercício de resolver a equação $ x^{4} - 3x^{2} - 3 = 0 $ usando o método do Ponto Fixo, com uma precisão de $ 10^{-2} $ e começando com $ p_{0} = 1 $. O conteúdo aqui envolve métodos numéricos, especificamente o método do Ponto Fixo, que é uma técnica iterativa para encontrar soluções de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação $ x^{4} - 3x^{2} - 3 = 0 $ na forma $ x = g(x) $, que é necessária para aplicar o método do Ponto Fixo. Uma maneira de fazer isso é isolando $ x $:
x^4 - 3x^2 - 3 = 0
No entanto, pode ser mais conveniente rearranjar de outra forma para facilitar as iterações. Vamos tentar:
x = g(x)
Então, nossa função $ g(x) $ será:
x

Passo 3

Agora que temos $ g(x) = \sqrt{3x^{2} + 3} $, podemos iniciar as iterações do método do Ponto Fixo. Vamos começar com $ p_{0} = 1 $.

Passo 4

Vamos calcular as próximas aproximações usando $ p_{n+1} = g(p_{n}) $ até que a diferença entre $ p_{n+1} $ e $ p_{n} $ seja menor que $ 10^{-2} $.
  1. Primeira iteração ($ n = 0 $):
    pn+1 = g(pn)
    pn+1
  2. Segunda iteração ($ n = 1 $):
    pn
    10^-2
  3. Terceira iteração ($ n = 2 $):
    n = 0
    p1 = g(p0) = raiz3(1)^2 + 3 = raiz6 approx 2.4495
Percebe-se que os valores estão aumentando sem convergir para uma solução com a precisão desejada. Isso indica que a escolha da função $ g(x) $ pode não ser a mais apropriada para garantir a convergência do método do Ponto Fixo nesse caso.

Resposta

Após várias iterações, observamos que o método do Ponto Fixo não converge para uma solução com a precisão de $ 10^{-2} $ usando a função escolhida $ g(x) = \sqrt{3x^{2} + 3} $ e $ p_{0} = 1 $. É necessário reconsiderar a formulação da função $ g(x) $ para garantir a convergência ou utilizar outro método numérico para resolver a equação $ x^{4} - 3x^{2} - 3 = 0 $.

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