Exercício 12
[Manual] Use o método do Ponto Fixo para determinar a solução com uma precisão de
para
cm [1.2]. Use
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[Manual] Use o método do Ponto Fixo para determinar a solução com uma precisão de
Passo 1
Beleza, então a gente tem o exercício de resolver a equação $ x^{4} - 3x^{2} - 3 = 0 $ usando o método do Ponto Fixo, com uma precisão de $ 10^{-2} $ e começando com $ p_{0} = 1 $. O conteúdo aqui envolve métodos numéricos, especificamente o método do Ponto Fixo, que é uma técnica iterativa para encontrar soluções de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação $ x^{4} - 3x^{2} - 3 = 0 $ na forma $ x = g(x) $, que é necessária para aplicar o método do Ponto Fixo. Uma maneira de fazer isso é isolando $ x $:
No entanto, pode ser mais conveniente rearranjar de outra forma para facilitar as iterações. Vamos tentar:
Então, nossa função $ g(x) $ será:
Passo 3
Agora que temos $ g(x) = \sqrt{3x^{2} + 3} $, podemos iniciar as iterações do método do Ponto Fixo. Vamos começar com $ p_{0} = 1 $.
Passo 4
Vamos calcular as próximas aproximações usando $ p_{n+1} = g(p_{n}) $ até que a diferença entre $ p_{n+1} $ e $ p_{n} $ seja menor que $ 10^{-2} $.
-
Primeira iteração ($ n = 0 $):
-
Segunda iteração ($ n = 1 $):
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Terceira iteração ($ n = 2 $):
Percebe-se que os valores estão aumentando sem convergir para uma solução com a precisão desejada. Isso indica que a escolha da função $ g(x) $ pode não ser a mais apropriada para garantir a convergência do método do Ponto Fixo nesse caso.
Resposta
Após várias iterações, observamos que o método do Ponto Fixo não converge para uma solução com a precisão de $ 10^{-2} $ usando a função escolhida $ g(x) = \sqrt{3x^{2} + 3} $ e $ p_{0} = 1 $. É necessário reconsiderar a formulação da função $ g(x) $ para garantir a convergência ou utilizar outro método numérico para resolver a equação $ x^{4} - 3x^{2} - 3 = 0 $.