Determine um intervalo (a, b) e uma função de iteração varphi(x) associada, de tal forma que forall x0 in(a, b), a função de iteração gere uma sequência convergente para a(s) raiz(es) de cada uma das funções abaixo, usando o método iterativo do ponto fixo
f1(x)=raizx-e^-x.

Passo 1

Então, o enunciado diz: “Para
f1(x)=raizx-e^-x,,
determine um intervalo e uma função de iteração tais que, para qualquer , a iteração de ponto-fixo convirja à raiz de .
Isso é matéria de método iterativo de ponto-fixo: vamos precisar do Teorema do Ponto-Fixo (existência de em e ) e de reescrever como .

Passo 2

O Teorema do Ponto-Fixo básico diz: se |varphi'(x)|<= L<1forall xin[a,b], é contínua em xn+1=varphi(xn) , mapeia em si (isto é, ) e existe tal que
então, para todo , a sequência
converge a um único ponto-fixo em .

Passo 3

Precisamos achar uma forma de reescrever
raizx-e^-x=0
como
x=varphi(x),
Observe que
raizx=e^-x ;Longrightarrow; x=l(e^-xr)^2=e^-2x
Então uma boa escolha é
boxedvarphi(x)=e^-2x

Passo 4

Agora a gente acha um intervalo varphi'(x)=-2e^-2x, onde
  1. e^-2xtfracln22approx0.3466 , isto é
    a) varphi(a)<= b e varphi(b)>= a ,
    b) e^-2b>=0.35 ;Longrightarrow; -2b>=ln0.35 ;Longrightarrow; b<= -tfrac12ln0.35approx0.523.
  2. boxeda=0.35, b=0.50 em .
Calculemos :
logo . Para garantir basta ter
Vamos escolher . Então já garante .
Agora, as imagens:
  • ,
  • .
Para fechar precisamos que
Como , basta escolher .
E exige
Podemos, por simplicidade, fixar
Verificando rapidinho:
  • ,
  • ,
  • em temos .
Tudo bate: mapeia o intervalo nele mesmo e é contração.

Resposta

boxed(a,b)=(0.35,,0.50), varphi(x)=e^-2x,

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