Determine um intervalo
e uma função de iteração
associada, de tal forma que
, a função de iteração gere uma sequência convergente para a(s) raiz(es) de cada uma das funções abaixo, usando o método iterativo do ponto fixo
.
Passo 1
Então, o enunciado diz: “Para
determine um intervalo
e uma função de iteração
tais que, para qualquer
, a iteração de ponto-fixo convirja à raiz de
.
Isso é matéria de método iterativo de ponto-fixo: vamos precisar do Teorema do Ponto-Fixo (existência de em
e
) e de reescrever
como
.
Isso é matéria de método iterativo de ponto-fixo: vamos precisar do Teorema do Ponto-Fixo (existência de
Passo 2
O Teorema do Ponto-Fixo básico diz: se
é contínua em
, mapeia
em si (isto é,
) e existe
tal que
então, para todo
, a sequência
converge a um único ponto-fixo em
.
Passo 3
Precisamos achar uma forma de reescrever
como
Observe que
Então uma boa escolha é
Passo 4
Agora a gente acha um intervalo
onde
-
, isto é
a),
b). -
em .
Calculemos
:
logo
. Para garantir
basta ter
Vamos escolher
. Então
já garante
.
Agora, as imagens:
-
, -
.
Para fechar
precisamos que
Como
, basta escolher
.
E exige
E
Podemos, por simplicidade, fixar
Verificando rapidinho:
-
, -
, - em
temos .
Tudo bate:
mapeia o intervalo nele mesmo e é contração.