Explique como podemos obter a fração geratriz do número 2,17777…:

Passo 1

Resumo do enunciado: a questão pede para achar a fração geratriz do número 2,17777…
Conteúdo da matéria: decimais periódicos e frações geratrizes.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é parte inteira, parte decimal finita e parte decimal periódica;
  • Saber usar multiplicação por potências de 10 para “mover a vírgula”;
  • Subtrair equações para eliminar a parte periódica;
  • Simplificar frações.

Passo 2

Primeiro, define o número como uma incógnita:

Aqui:
  • A parte inteira é 2;
  • A parte decimal não periódica é 1 (um dígito “1” após a vírgula);
  • A parte periódica é “7”, que se repete infinitamente.

Passo 3

Queremos eliminar a repetição. Primeiro, multiplicamos por 10 para que a parte periódica fique imediatamente depois da vírgula:

Repare que agora em a vírgula está logo antes do “7” que se repete.

Passo 4

Para tirar a parte periódica, multiplicamos essa segunda equação por 10 de novo (porque o período tem um dígito), criando um número cuja parte decimal é o mesmo “.77777…”:
10x = 21,7 Longrightarrow 100x = 217,7
Agora subtraímos a equação 100x - 10x = 217,7 - 21,7 da equação 90x = 196 :
x = 19690

Passo 5

Só falta simplificar 19690 = 196div290div2 = 9845 . Ambos dividem por 2:

Resposta

A fração geratriz de é .

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