Seja
. Mostre que a equação
possui exatamente duas raízes reais e que a maior delas se localiza em
. Use o método de Newton para determinar esta maior raiz com precisão pré-fixada de
, justificando o porquê da convergência da sequência gerada pelo método.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para resolver a equação
Para isso vamos usar análise de função (limites e derivadas) para contar raízes reais e depois aplicar o método de Newton para aproximar numericamente a maior raiz com precisão
.
Passo 2
Definimos
Calculamos os limites
e o ponto crítico
que se anula apenas em
. Como
cresce em
e decresce em
, e em
temos
concluímos que
(isto é,
) tem exatamente duas raízes reais.
Passo 3
Para localizar a maior raiz, avaliamos
Pela continuidade de
, existe um único zero em
.
Passo 4
A segunda derivada é
Em
temos
(pois
) e
(pois
), ou seja,
é decrescente e côncava para baixo nesse intervalo. Pelo teorema de convergência de Newton, escolhendo
a sequência gerada é monótona crescente e limitada acima pela raiz, garantindo convergência.
Passo 5
A iteração de Newton para
é
Passo 6
Com
obtemos successivamente
As iterações são ,
,
,
e
. Como
, a correspondência atingiu a precisão requerida.
As iterações são
Resposta
A maior raiz de
é aproximadamente
com erro menor que
.