Seja f(t)=5 t e^-t / 3. Mostre que a equação f(t)=5 possui exatamente duas raízes reais e que a maior delas se localiza em [4,5]. Use o método de Newton para determinar esta maior raiz com precisão pré-fixada de 10^-3, justificando o porquê da convergência da sequência gerada pelo método.

Passo 1

O enunciado define a função f(t)=5t e^-t/3 e pede para resolver a equação
f(t)=5 Long<=ftrightarrow t e^-t/3=1
Para isso vamos usar análise de função (limites e derivadas) para contar raízes reais e depois aplicar o método de Newton para aproximar numericamente a maior raiz com precisão 10^-3.

Passo 2

Definimos
h(t)=t e^-t/3-1
Calculamos os limites
limtto-inftyh(t)=-1, limtto+inftyh(t)=-1,
e o ponto crítico
h'(t)=e^-t/3l(1- t3r),
que se anula apenas em t=3. Como h cresce em (-infty,3) e decresce em (3,+infty), e em t=3 temos
h(3)=3e^-1-1>0,
concluímos que h(t)=0 (isto é, f(t)=5) tem exatamente duas raízes reais.

Passo 3

Para localizar a maior raiz, avaliamos
h(4)=4e^-4/3-1approx0,054>0, h(5)=5e^-5/3-1approx-0,056<0
Pela continuidade de h, existe um único zero em [4,5].

Passo 4

A segunda derivada é
h''(t)=e^-t/39(t-6)
Em [4,5] temos h'(t)<0 (pois 1-t/3<0) e h''(t)<0 (pois t-6<0), ou seja, h é decrescente e côncava para baixo nesse intervalo. Pelo teorema de convergência de Newton, escolhendo t0=4 a sequência gerada é monótona crescente e limitada acima pela raiz, garantindo convergência.

Passo 5

A iteração de Newton para h(t) é
tn+1 = tn - h(tn)h'(tn) = tn - tn e^-tn/3-1e^-tn/3(1-tn/3)

Passo 6

Com t0=4 obtemos successivamente
As iterações são t1approx4,6188, t2approx4,5449, t3approx4,5387, t4approx4,5400 e t5approx4,5396. Como
lvert t5-t4rvert<10^-3, a correspondência atingiu a precisão requerida.

Resposta

A maior raiz de f(t)=5 é aproximadamente
tapprox4,540
com erro menor que 10^-3.

Exercícios relacionados