Determine um intervalo
e uma função de iteração
associada, de tal forma que
a função de iteração gere uma sequência convergente para a(s) raiz(es) de cada uma das funções abaixo, usando o método iterativo linear (MIL) com tolerância
.
Passo 1
A função é f_5(x)=x/4−cos(x). O objetivo é achar um intervalo (a,b) que contenha uma raiz e construir φ(x) tal que a iteração x_{n+1}=φ(x_n) convirja por teorema do ponto fixo (método iterativo linear). Vamos precisar usar o teorema de Bolzano para localizar a raiz e a condição de contração φ′(x) numa vizinhança.
Passo 2
Calculamos f_5(1)=1/4−cos(1)≈0.25−0.5403=−0.2903<0 e f_5(2)=2/4−cos(2)≈0.5−(−0.4161)=0.9161>0. Pelo teorema de Bolzano há pelo menos uma raiz em (1,2).
Passo 3
Para usar iteração de ponto fixo isolamos x em função de x. A forma x=4cos(x) não dá contração em (1,2). Em vez disso, escrevemos cos(x)=x/4 e isolamos x: Propomos φ(x)=arccos(x/4). Então x_{n+1}=arccos(x_n/4).
Passo 4
Precisamos mostrar que φ leva (1,2) em si mesma: se x∈[1,2] então x/4∈[0.25,0.5] e
φ(x)=arccos(x/4)∈[arccos(0.5),arccos(0.25)]=[π/3,arccos(0.25)]≈[1.047,1.318]⊂(1,2).
φ(x)=arccos(x/4)∈[arccos(0.5),arccos(0.25)]=[π/3,arccos(0.25)]≈[1.047,1.318]⊂(1,2).
Passo 5
Para garantir convergência usamos a condição de contração. Calculamos a derivada:
φ′(x)=-\frac{1}{4\sqrt{1-(x/4)^2}}.
φ′(x)=-\frac{1}{4\sqrt{1-(x/4)^2}}.
Passo 6
Em x∈[1,2] temos √{1-(x/4)^2}∈[√{1-0.25},√{1-0.0625}]=[0.866,0.968], logo
|φ′(x)|≤\max{1/(4·0.866),1/(4·0.968)}≈0.289<1.
|φ′(x)|≤\max{1/(4·0.866),1/(4·0.968)}≈0.289<1.
Passo 7
Como φ é uma contração em (1,2), a iteração converge para a raiz de f_5 a partir de qualquer x_0∈(1,2). A tolerância ε≤10^{-3} serve de critério de parada padrão (por exemplo |x_{n+1}-x_n|<ε).
Resposta
Intervalo: (1,2). Função de iteração: φ(x)=arccos(x/4).