Determine um intervalo (a, b) e uma função de iteração varphi(x) associada, de tal forma que forall x0 in(a, b) a função de iteração gere uma sequência convergente para a(s) raiz(es) de cada uma das funções abaixo, usando o método iterativo linear (MIL) com tolerância epsilon <= 1.10^-3.
f5(x)=x / 4-cos (x)

Passo 1

A função é f_5(x)=x/4−cos(x). O objetivo é achar um intervalo (a,b) que contenha uma raiz e construir φ(x) tal que a iteração x_{n+1}=φ(x_n) convirja por teorema do ponto fixo (método iterativo linear). Vamos precisar usar o teorema de Bolzano para localizar a raiz e a condição de contração φ′(x) numa vizinhança.

Passo 2

Calculamos f_5(1)=1/4−cos(1)≈0.25−0.5403=−0.2903<0 e f_5(2)=2/4−cos(2)≈0.5−(−0.4161)=0.9161>0. Pelo teorema de Bolzano há pelo menos uma raiz em (1,2).

Passo 3

Para usar iteração de ponto fixo isolamos x em função de x. A forma x=4cos(x) não dá contração em (1,2). Em vez disso, escrevemos cos(x)=x/4 e isolamos x: Propomos φ(x)=arccos(x/4). Então x_{n+1}=arccos(x_n/4).

Passo 4

Precisamos mostrar que φ leva (1,2) em si mesma: se x∈[1,2] então x/4∈[0.25,0.5] e
φ(x)=arccos(x/4)∈[arccos(0.5),arccos(0.25)]=[π/3,arccos(0.25)]≈[1.047,1.318]⊂(1,2).

Passo 5

Para garantir convergência usamos a condição de contração. Calculamos a derivada:
φ′(x)=-\frac{1}{4\sqrt{1-(x/4)^2}}.

Passo 6

Em x∈[1,2] temos √{1-(x/4)^2}∈[√{1-0.25},√{1-0.0625}]=[0.866,0.968], logo
|φ′(x)|≤\max{1/(4·0.866),1/(4·0.968)}≈0.289<1.

Passo 7

Como φ é uma contração em (1,2), a iteração converge para a raiz de f_5 a partir de qualquer x_0∈(1,2). A tolerância ε≤10^{-3} serve de critério de parada padrão (por exemplo |x_{n+1}-x_n|<ε).

Resposta

Intervalo: (1,2). Função de iteração: φ(x)=arccos(x/4).

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