Use diferenças divididas para aproximar f(0.3) a partir dos dados f(0.0)=15.0, f(0.2)= 21.0, f(0.4)=30.0 e f(0.6)=51.0.

Passo 1

A questão pede para aproximar o valor de f(0.3) usando o método de diferenças divididas (interpolação de Newton). Precisamos dos pontos dados e das fórmulas de diferenças divididas para montar o polinômio interpolador.

Passo 2

Listamos os dados em forma de nós: x0=0.0, x1=0.2, x2=0.4, x3=0.6 com os valores correspondentes f(x0)=15.0, f(x1)=21.0, f(x2)=30.0, f(x3)=51.0.

Passo 3

Calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:
f[x0,x1]=f(x1)-f(x0)x1-x0=21.0-15.00.2-0.0=30,
f[x1,x2]=30.0-21.00.4-0.2=45,
f[x2,x3]=51.0-30.00.6-0.4=105

Passo 4

Calculamos as diferenças divididas de segunda ordem:
f[x0,x1,x2]=f[x1,x2]-f[x0,x1]x2-x0=45-300.4-0.0=37.5,
f[x1,x2,x3]=105-450.6-0.2=150

Passo 5

Calculamos a diferença dividida de terceira ordem:
f[x0,x1,x2,x3]=f[x1,x2,x3]-f[x0,x1,x2]x3-x0=150-37.50.6-0.0=187.5

Passo 6

Escrevemos o polinômio de Newton usando essas diferenças:
P(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2)

Passo 7

Substituindo os valores encontrados:
P(x)=15 + 30(x-0) + 37.5(x-0)(x-0.2) + 187.5(x-0)(x-0.2)(x-0.4)

Passo 8

Avaliamos P(0.3): Primeiro termo: 15. Segundo termo: 30cdot0.3=9. Terceiro termo: 37.5cdot0.3cdot0.1=1.125. Quarto termo: 187.5cdot0.3cdot0.1cdot(-0.1)=-0.5625. Somando tudo: 15+9+1.125-0.5625=24.5625.

Resposta

24.5625

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