(a) Encontrar o polinômio, na forma de Lagrange, que interpola
sobre os pontos
e
;
(b) Calcular uma aproximação para
;
© Qual o erro cometido na aproximação obtida no item (b)?
(b) Calcular uma aproximação para
© Qual o erro cometido na aproximação obtida no item (b)?
Passo 1
Temos a função
e queremos o polinômio de Lagrange de grau 2 que interpola em
,
e
. Vamos precisar dos valores
nesses pontos e da fórmula de Lagrange.
Passo 2
Calculamos os valores de
nos nós:
[f(2)=\frac1{2^2}=\frac14,\quad f(2.5)=\frac1{(2.5)^2}=\frac4{25},\quad f(4)=\frac1{4^2}=\frac1{16}.
Passo 3
Construímos as bases de Lagrange:
$$L_0(x)=\frac{(x-2.5)(x-4)}{(2-2.5)(2-4)}=\frac{(x-2.5)(x-4)}{1},
$$
$$L_1(x)=\frac{(x-2)(x-4)}{(2.5-2)(2.5-4)}=\frac{(x-2)(x-4)}{-0.75}=-\frac{4}{3}(x-2)(x-4),
$$
$$L_2(x)=\frac{(x-2)(x-2.5)}{(4-2)(4-2.5)}=\frac{(x-2)(x-2.5)}{3}.
$$
Passo 4
O polinômio de interpolação fica
Passo 5
Para aproximar
avaliamos cada base em
:
$$L_0(3)=(3-2.5)(3-4)=-0.5,\quad L_1(3)=-\frac{4}{3}(1)(-1)=\frac{4}{3},\quad L_2(3)=\frac{1\cdot0.5}{3}=\frac{1}{6}.
$$
Passo 6
O valor exato é
, logo o erro absoluto é
$$E=\bigl|f(3)-P_2(3)\bigr|=\frac{1}{9}-\frac{237}{2400}=\frac{89}{7200}\approx0.01236.
$$
Resposta
(a) $$P_2(x)=\frac14\frac{(x-2.5)(x-4)}{1}+\frac4{25}\biggl(-\frac{4}{3}(x-2)(x-4)\biggr)+\frac1{16}\frac{(x-2)(x-2.5)}{3}.
$$
(b) $$P_2(3)=\frac{237}{2400}\approx0.09875.
$$
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