(a) Encontrar o polinômio, na forma de Lagrange, que interpola f(x)=1 / x^2 sobre os pontos x0=2 ; x1=2.5 e x2=4;
(b) Calcular uma aproximação para f(3);
© Qual o erro cometido na aproximação obtida no item (b)?

Passo 1

Temos a função f(x)=1/x^2 e queremos o polinômio de Lagrange de grau 2 que interpola em x0=2, x1=2.5 e x2=4. Vamos precisar dos valores f(xi) nesses pontos e da fórmula de Lagrange.

Passo 2

Calculamos os valores de f nos nós:
[f(2)=\frac1{2^2}=\frac14,\quad f(2.5)=\frac1{(2.5)^2}=\frac4{25},\quad f(4)=\frac1{4^2}=\frac1{16}.

Passo 3

Construímos as bases de Lagrange:
$$L_0(x)=\frac{(x-2.5)(x-4)}{(2-2.5)(2-4)}=\frac{(x-2.5)(x-4)}{1},
$$
$$L_1(x)=\frac{(x-2)(x-4)}{(2.5-2)(2.5-4)}=\frac{(x-2)(x-4)}{-0.75}=-\frac{4}{3}(x-2)(x-4),
$$
$$L_2(x)=\frac{(x-2)(x-2.5)}{(4-2)(4-2.5)}=\frac{(x-2)(x-2.5)}{3}.
$$

Passo 4

O polinômio de interpolação fica
P2(x)=f(2)L0(x)+f(2.5)L1(x)+f(4)L2(x) =14,L0(x)+425,L1(x)+116,L2(x)

Passo 5

Para aproximar f(3) avaliamos cada base em x=3:
$$L_0(3)=(3-2.5)(3-4)=-0.5,\quad L_1(3)=-\frac{4}{3}(1)(-1)=\frac{4}{3},\quad L_2(3)=\frac{1\cdot0.5}{3}=\frac{1}{6}.
L0(3)=(3-2.5)(3-4)=-0.5, L1(3)=-43(1)(-1)=43, L2(3)=1cdot0.53=16 ãP_2(3)=\frac14(-0.5)+\frac4{25}\cdot\frac{4}{3}+\frac1{16}\cdot\frac{1}{6}=-\frac18+\frac{16}{75}+\frac1{96}=\frac{237}{2400}\approx0.09875.
$$

Passo 6

O valor exato é f(3)=1/9=0.111ldots, logo o erro absoluto é
$$E=\bigl|f(3)-P_2(3)\bigr|=\frac{1}{9}-\frac{237}{2400}=\frac{89}{7200}\approx0.01236.
$$

Resposta

(a) $$P_2(x)=\frac14\frac{(x-2.5)(x-4)}{1}+\frac4{25}\biggl(-\frac{4}{3}(x-2)(x-4)\biggr)+\frac1{16}\frac{(x-2)(x-2.5)}{3}.
$$
(b) $$P_2(3)=\frac{237}{2400}\approx0.09875.
$$
© P2(x)=14(x-2.5)(x-4)1+425gl(-43(x-2)(x-4)gr)+116(x-2)(x-2.5)3

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