Seja a tabela
c|c|c|c|c|c|c $x$ & 0 & 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.4 & 0.5 hline $exp x$ & 1 & 1.11 & 1.22 & 1.35 & 1.49 & 1.65 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
exp 0.35 1 1.11 1.22 1.35 1.49 1.65
Usando interpolação linear sobre os pontos adequados:
(a) Calcular ;
(b) Dar um limitante superior para o erro de truncamento.

Passo 1

O enunciado pede para usar interpolação linear na tabela de valores de e^x em x=0,0.1,dots,0.5 para estimar e^0.35 e, em seguida, dar um limitante superior para o erro de truncamento. Vamos ver o que precisamos: interpolação linear em um subintervalo que contenha 0.35 e depois usar o termo de resto da fórmula de interpolação para controlar o erro.

Passo 2

Precisamos identificar os pontos vizinhos que envolvem x=0.35. Observando a tabela, vemos que 0.35 está entre 0.3 e 0.4. Vamos chamar x0=0.3, x1=0.4, f(x)=e^x, f(x0)=1.35 e f(x1)=1.49. A fórmula da interpolação linear é:
P1(x)=f(x0)+x-x0x1-x0l(f(x1)-f(x0)r)

Passo 3

Aplicando essa fórmula em x=0.35, temos:
P1(0.35)=1.35+0.35-0.30.4-0.3(1.49-1.35)=1.35+0.050.1cdot0.14=1.35+0.5cdot0.14=1.35+0.07=1.42
Portanto, nossa estimativa é e^0.35approx1.42.

Passo 4

Para limitar o erro, usamos o termo de resto da interpolação linear (polinômio de grau 1):
R1(x)=f''(xi)2!(x-x0)(x-x1),
para algum xi em [x0,x1]. Aqui f(x)=e^x implica f''(x)=e^x, que em [0.3,0.4] atinge máximo em x=0.4, isto é M=max e^x=e^0.4approx1.49.

Passo 5

Substituindo no limitante:
|R1(0.35)|<=M2,|0.35-0.3|,|0.35-0.4|=1.492cdot0.05cdot0.05=1.49times0.00125approx0.00186

Passo 6

Portanto, o erro de truncamento é, no máximo, cerca de 1.9times10^-3.

Resposta

e^0.35approx1.42 com erro <=1.9times10^-3.

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