Determine os intervalos que contêm raízes da função f(x)=\ln (x)-x^{2}+6 x-8.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os intervalos que contêm as raízes da função f(x)=\ln(x)-x^{2}+6x-8.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função é f(x)=\ln(x)-x^{2}+6x-8.
  • Domínio: \,x>0 (porque \ln(x) só está definido para x>0).
  • O objetivo é encontrar intervalos em (0,\infty) onde exista pelo menos uma raiz (ponto c com f\text{(c)}=0) — tipicamente faremos isso procurando mudanças de sinal em valores simples (por exemplo valores inteiros) e aplicando o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Propriedade importante que vamos usar: a função f é contínua em (0,\infty).
Explicando devagarinho: \ln(x) é contínua para x>0, e os polinômios são contínuos em todo lugar; soma de funções contínuas é contínua. Como f é contínua em qualquer intervalo fechado contido em (0,\infty), vale o Teorema do Valor Intermediário: se f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0. É por isso que buscar mudanças de sinal é uma forma prática de “garantir” existência de raízes em intervalos.

Passo 3

Vamos calcular f em pontos inteiros simples para procurar mudanças de sinal. Cada cálculo será mostrado passo a passo.
Cálculo em x=1:
f(1)=\ln(1)-1^{2}+6\cdot1-8=0-1+6-8=-3.
Conclusão: f(1)=-3<0.
Cálculo em x=2:
f(2)=\ln(2)-2^{2}+6\cdot2-8=\ln(2)-4+12-8=\ln(2).
Como \ln(2)\approx0,693>0, concluímos f(2)>0.
Como f(1)<0 e f(2)>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (1,2).
Cálculo em x=3:
f(3)=\ln(3)-3^{2}+6\cdot3-8=\ln(3)-9+18-8=\ln(3)+1.
Como \ln(3)\approx1,098, temos f(3)\approx2,098>0. Então não há mudança de sinal entre 2 e 3 (ambos positivos).
Cálculo em x=4:
f(4)=\ln(4)-4^{2}+6\cdot4-8=\ln(4)-16+24-8=\ln(4).
Como \ln(4)\approx1,386>0, então f(4)>0.
Cálculo em x=5:
f(5)=\ln(5)-5^{2}+6\cdot5-8=\ln(5)-25+30-8=\ln(5)-3.
Como \ln(5)\approx1,609, obtemos f(5)\approx1,609-3=-1,391<0.
Como f(4)>0 e f(5)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (4,5).
Também vale observar os extremos do domínio: quando x\to0^{+} temos \ln(x)\to-\infty então f(x)\to-\infty (negativo) perto de zero, e quando x\to+\infty o termo -x^{2} domina e f(x)\to-\infty; isso reforça que sinais negativos aparecem em extremos do domínio e que as mudanças de sinal encontradas são relevantes.

Passo 4

Agora é útil argumentar que não existem outras raízes além das duas que já encontramos. Para isso vamos estudar a concavidade de f.
Derivadas:
f'(x)=\frac{1}{x}-2x+6, \qquad f''(x)=-\frac{1}{x^{2}}-2.
Note que para todo x>0 temos -\dfrac{1}{x^{2}}-2<0. Ou seja, f''(x)<0 em todo o domínio, o que significa que f é estritamente côncava para baixo em (0,\infty).
Consequência prática e explicação intuitiva: uma função estritamente côncava para baixo só pode ter no máximo duas interseções com o eixo x. Outra forma de ver: f''<0 implica que f' é estritamente decrescente, então f' tem no máximo uma raiz (no máximo um ponto crítico). Se há no máximo um ponto crítico (um máximo local), a função só pode cortar o eixo no máximo duas vezes (subir, cortar, descer e possivelmente cortar de novo; mais cruzamentos exigiriam oscilações impossíveis para função concava única).
Como já garantimos existência de pelo menos uma raiz em (1,2) e outra em (4,5), e mostramos que não podem existir mais do que duas raízes, concluímos que exatamente essas duas são as únicas raízes da função.

Passo 5

Resumo didático rápido (como lembrar na prova):
  • Verifique domínio: aqui x>0.
  • Use pontos fáceis (inteiros) para avaliar f e procurar mudanças de sinal.
  • Aplique o Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raiz num intervalo onde f muda de sinal.
  • Para mostrar unicidade ou quantidade de raízes, estudar f'' (concavidade) ou f' (monotonicidade) costuma ser eficiente; aqui f''<0 já limita o número de raízes a no máximo duas.

Resposta

(1,2)
(4,5)

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