Determine os intervalos que contêm raízes da função
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os intervalos que contêm as raízes da função
.
Informações dadas e observações imediatas:
- A função é
. - Domínio:
(porque só está definido para ). - O objetivo é encontrar intervalos em
onde exista pelo menos uma raiz (ponto com ) — tipicamente faremos isso procurando mudanças de sinal em valores simples (por exemplo valores inteiros) e aplicando o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Propriedade importante que vamos usar: a função
é contínua em
.
Explicando devagarinho: é contínua para
, e os polinômios são contínuos em todo lugar; soma de funções contínuas é contínua. Como
é contínua em qualquer intervalo fechado contido em
, vale o Teorema do Valor Intermediário: se
e
têm sinais opostos, então existe pelo menos um
tal que
. É por isso que buscar mudanças de sinal é uma forma prática de “garantir” existência de raízes em intervalos.
Explicando devagarinho:
Passo 3
Vamos calcular
em pontos inteiros simples para procurar mudanças de sinal. Cada cálculo será mostrado passo a passo.
Cálculo em
:
Conclusão:
.
Cálculo em
:
Como
, concluímos
.
Como
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em
.
Cálculo em
:
Como
, temos
. Então não há mudança de sinal entre 2 e 3 (ambos positivos).
Cálculo em
:
Como
, então
.
Cálculo em
:
Como
, obtemos
.
Como
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em
.
Também vale observar os extremos do domínio: quando
temos
então
(negativo) perto de zero, e quando
o termo
domina e
; isso reforça que sinais negativos aparecem em extremos do domínio e que as mudanças de sinal encontradas são relevantes.
Passo 4
Agora é útil argumentar que não existem outras raízes além das duas que já encontramos. Para isso vamos estudar a concavidade de
.
Derivadas:
Note que para todo
temos
. Ou seja,
em todo o domínio, o que significa que
é estritamente côncava para baixo em
.
Consequência prática e explicação intuitiva: uma função estritamente côncava para baixo só pode ter no máximo duas interseções com o eixo
. Outra forma de ver:
implica que
é estritamente decrescente, então
tem no máximo uma raiz (no máximo um ponto crítico). Se há no máximo um ponto crítico (um máximo local), a função só pode cortar o eixo no máximo duas vezes (subir, cortar, descer e possivelmente cortar de novo; mais cruzamentos exigiriam oscilações impossíveis para função concava única).
Como já garantimos existência de pelo menos uma raiz em
e outra em
, e mostramos que não podem existir mais do que duas raízes, concluímos que exatamente essas duas são as únicas raízes da função.
Passo 5
Resumo didático rápido (como lembrar na prova):
- Verifique domínio: aqui
. - Use pontos fáceis (inteiros) para avaliar
e procurar mudanças de sinal. - Aplique o Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raiz num intervalo onde
muda de sinal. - Para mostrar unicidade ou quantidade de raízes, estudar
(concavidade) ou (monotonicidade) costuma ser eficiente; aqui já limita o número de raízes a no máximo duas.