(1) Considere a função
e
.
a) Use o método gráfico e forneça um intervalo que contenha a raiz.
b) Encontre uma raiz da função pelo Método da Bissecção usando o intervalo [0.1,1].
c) Encontre uma raiz da função pelo Método de Newton com
.
a) Use o método gráfico e forneça um intervalo que contenha a raiz.
b) Encontre uma raiz da função pelo Método da Bissecção usando o intervalo [0.1,1].
c) Encontre uma raiz da função pelo Método de Newton com
Passo 1
O enunciado dá a função
e a tolerância
. Pede:
a) usar um método gráfico para fornecer um intervalo que contenha uma raiz de ;
b) encontrar uma raiz usando o Método da Bissecção com o intervalo inicial (o enunciado forneceu
como intervalo para a parte (b), aqui representado com vírgula decimal:
com
para
);
c) encontrar uma raiz pelo Método de Newton com .
a) usar um método gráfico para fornecer um intervalo que contenha uma raiz de
b) encontrar uma raiz usando o Método da Bissecção com o intervalo inicial
c) encontrar uma raiz pelo Método de Newton com
Informações relevantes dadas:
- Função:
. - Domínio:
(porque exige ). - Tolerância:
. - Intervalo fornecido para bissecção:
(ou seja, com separação decimal por vírgula). - Ponto inicial para Newton:
.
Passo 2
(a) Como fazer o “método gráfico” médio sem desenhar: avaliar
em alguns pontos para ver onde muda de sinal (uma raiz real entre dois pontos onde
tem sinais opostos). Vou calcular alguns valores para localizar um intervalo visualmente simples.
Explicação curta do raciocínio: uma raiz real de
ocorre quando
. Se
e
têm sinais opostos, por continuidade existe pelo menos uma raiz em
. Isso é exatamente a ideia gráfica: procurar troca de sinal.
Calcular valores (usando vírgula decimal dentro de
):
-
. Sabendo , tem-se (negativo). -
e , logo (negativo). -
e , logo (negativo). -
e , logo (negativo). -
e , logo (positivo).
Conclusão do método gráfico (troca de sinal observada):
e
, portanto existe pelo menos uma raiz em
. Esse é um intervalo razoável vindo de uma inspeção “gráfica” por pontos.
Passo 3
(b) Método da Bissecção — explicação do método e critério de parada.
O método da bissecção começa com um intervalo
tal que
. Em cada iteração calcula-se o ponto médio
avalia-se
e escolhe-se o subintervalo
ou
onde ocorre a troca de sinal. Repetir até que o erro no valor da raiz seja aceitável. Uma medida usual do erro máximo possível é a semi-amplitude do intervalo: se
, então qualquer ponto dentro do intervalo atual tem erro máximo
. Vou usar esse critério de parada porque fornece uma garantia simples sobre o erro da aproximação.
Aplicando com o intervalo dado no enunciado para (b):
. Já verificamos
e
(positivo), logo há troca de sinal.
Agora as iterações (calculei os valores numéricos e tomo aproximações decimais razoáveis em cada passo):
Iteração 1:
-
. -
. -
.
então (negativo). - Como
e , novo intervalo: . - Semi-amplitude:
→ continuar.
Iteração 2:
-
. -
.
então (positivo). - Como
e , novo intervalo: . - Semi-amplitude:
→ continuar.
Iteração 3:
-
. -
.
então (positivo). - Novo intervalo:
. - Semi-amplitude:
→ continuar.
Iteração 4:
-
. -
.
então (negativo). - Novo intervalo:
. - Semi-amplitude:
→ continuar.
Iteração 5:
-
. -
.
então (negativo). - Novo intervalo:
. - Semi-amplitude:
→ continuar.
Iteração 6:
-
. -
.
então (negativo). - Novo intervalo:
. - Semi-amplitude:
.
Agora a semi-amplitude
é menor que
. Portanto podemos parar: qualquer ponto no intervalo atual tem erro garantido
. Uma boa aproximação da raiz é o ponto médio do intervalo final:
Por simetria e para garantir o erro máximo, muitas vezes toma-se o centro do último intervalo antes da parada; outra escolha igualmente válida é o centro do último intervalo que contém a raiz após a escolha do subintervalo (eu apresentei o centro após decidir o intervalo de iteração 6). Se preferir a aproximação com erro controlado pela semi-amplitude, o centro do intervalo final
é
e a raiz verdadeira difere no máximo de
.
(Observação: na minha iteração anterior alternativa eu poderia ter parado um passo depois dependendo de como se define exatamente o momento de parada e reportar o centro final
. O importante é que a aproximação esteja dentro de
. Vou usar como resultado a aproximação centrada no último intervalo que garanti acima:
se eu escolher o centro do intervalo obtido imediatamente antes de classificar sinais no passo final — ambos os números estão dentro da tolerância. Para clareza e por padrão matemático vou reportar a aproximação central do intervalo cuja semi-amplitude ficou menor que
; isto é
.)
Passo 4
(c) Método de Newton — explicação do método e aplicação com
.
Fórmula do Método de Newton (forma iterativa):
Aqui
. Derivada:
Critério de parada que vou usar: parar quando a diferença entre iterações consecutivas for menor que
, isto é
. Esse critério dá uma estimativa direta de quanto mudou a aproximação de raiz entre iterações.
Aplicação numérica a partir de
:
Iteração 0 → 1:
-
. -
. - Correção:
. -
.
Iteração 1 → 2:
- Avaliar em
: -
.
Calculando:e .
Logo. -
.
-
- Correção:
. -
.
Verificar critério:
. Portanto parar. A aproximação obtida pelo Método de Newton é
Comentário pedagógico curto: o Método de Newton convergiu muito rapidamente (duas iterações sufiram para ficar abaixo da tolerância). A bissecção dá garantia de erro mas converge mais devagar; Newton é mais rápido quando a derivada não é zero e a aproximação inicial é razoável.
Passo 5
Resumo numérico e garantia de erro:
- Pelo método gráfico identifiquei um intervalo contendo a raiz:
. - Pelo método da bissecção com
e critério obtive aproximação da raiz com erro menor que : (qualquer valor dentro do intervalo final tem erro ). - Pelo Método de Newton com
e critério obtive .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)