(Método da Secante) Calcular a raiz da função
, sendo
e o
.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Função:
. - Palpites iniciais para o método da secante:
e . - Tolerância:
. - O que pedem: achar uma aproximação da raiz real de
(a solução de ) usando o método da secante até que o critério de parada satisfaça a tolerância dada.
Observações práticas (decisões que faço sem te perguntar):
- Vou usar como critério de parada o deslocamento entre iterações:
Esse é um critério comum e dá uma ideia direta da estabilidade da aproximação; se preferissemos, poderíamos usar
, mas escolhi o primeiro por ser simples de verificar manualmente.
Passo 2
O método da secante — ideia e fórmula (explicação prática para a prova)
- Intuição geométrica rápida: a cada passo o método da secante aproxima a curva por uma reta que passa pelos pontos
e . Interseção dessa reta com o eixo dá o próximo ponto . - Fórmula da secante (a usar repetidamente):
- O que cada símbolo significa:
-
são as duas últimas aproximações conhecidas; -
são os valores da função nesses pontos; -
é a nova aproximação (interseção da secante com o eixo ).
-
- Como usar na prática na prova: calcular
nos dois pontos, aplicar a fórmula (pode ser com frações exatas quando possível), obter , verificar e repetir até a tolerância.
Passo 3
Primeira iteração: calcular
- Calcular
nos pontos iniciais: -
. -
.
-
- Aplicando a fórmula da secante para
:
- Verificar deslocamento:
. Ainda não atingimos a tolerância.
Passo 4
Segunda iteração: calcular
(ainda procurando manter exatidão com frações)
- Primeiro
:
- Agora aplicar a fórmula com
e :
Substituindo frações:
Calcule o quociente intermediário:
Portanto
- Verificar deslocamento:
. Continua.
Passo 5
Terceira iteração: calcular
(aqui uso aproximações decimais para facilitar os cálculos manuais)
- Valores aproximados já obtidos:
-
, (pois ). -
. Vamos calcular aproximadamente:
-
(Explicação rápida: elevar ao cubo pode ser feito como
e depois multiplicar por
; para a prova basta 4–5 casas decimais.)
- Agora aplicar a fórmula:
Substituindo os números:
Calcule o termo de correção:
Portanto
- Verificar deslocamento:
. Ainda não basta.
Passo 6
Quarta iteração: calcular
e verificar critério
- Estimativas de função nos pontos usados:
-
(já calculado). -
. Para aproximar rapidamente use expansão linear: - Sabendo que
tem derivada , e que a raiz real está perto de , estima-se
Logo . - Sabendo que
-
- Aplicar a fórmula da secante entre
e :
Substituindo:
Cálculo do termo:
Portanto
- Agora verificar o critério de parada:
Como a diferença entre duas iterações consecutivas ficou menor que a tolerância pedida, paramos aqui.
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida
- Obtivemos a aproximação final
com critério . - Para comparação, a raiz exata é
, então nossa aproximação está muito próxima (erro na ordem de ), bem dentro da tolerância pedida. - Resumo do processo: começando em
aplicaram-se 4 iterações da secante (computando ) até que .