(Método da Secante) Calcular a raiz da função f(x) x^{3}-4, sendo x_{0}=1, x_{1}=2 e o \epsilon \leq 0.005.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Função: f(x)=x^{3}-4.
  • Palpites iniciais para o método da secante: x_{0}=1 e x_{1}=2.
  • Tolerância: \epsilon \leq 0{,}005.
  • O que pedem: achar uma aproximação da raiz real de f (a solução de f(x)=0) usando o método da secante até que o critério de parada satisfaça a tolerância dada.
Observações práticas (decisões que faço sem te perguntar):
  • Vou usar como critério de parada o deslocamento entre iterações:
\text{parar quando }\;|x_{n+1}-x_{n}|\le \epsilon.
Esse é um critério comum e dá uma ideia direta da estabilidade da aproximação; se preferissemos, poderíamos usar |f(x_{n+1})|\le\epsilon, mas escolhi o primeiro por ser simples de verificar manualmente.

Passo 2

O método da secante — ideia e fórmula (explicação prática para a prova)
  • Intuição geométrica rápida: a cada passo o método da secante aproxima a curva por uma reta que passa pelos pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)). Interseção dessa reta com o eixo x dá o próximo ponto x_{n+1}.
  • Fórmula da secante (a usar repetidamente):
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\cdot\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
  • O que cada símbolo significa:
    • x_{n-1},x_{n} são as duas últimas aproximações conhecidas;
    • f(x_{n-1}),f(x_{n}) são os valores da função nesses pontos;
    • x_{n+1} é a nova aproximação (interseção da secante com o eixo x).
  • Como usar na prática na prova: calcular f nos dois pontos, aplicar a fórmula (pode ser com frações exatas quando possível), obter x_{n+1}, verificar |x_{n+1}-x_n| e repetir até a tolerância.

Passo 3

Primeira iteração: calcular x_{2}
  • Calcular f nos pontos iniciais:
    • f(x_{0})=f(1)=1^{3}-4=-3.
    • f(x_{1})=f(2)=2^{3}-4=8-4=4.
  • Aplicando a fórmula da secante para n=1:
x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\cdot\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})} =2-4\cdot\frac{2-1}{4-(-3)}=2-\frac{4}{7}=\frac{10}{7}\approx1{,}428571.
  • Verificar deslocamento: |x_{2}-x_{1}|=|10/7-2|=|1{,}428571-2|=0{,}571428>0{,}005. Ainda não atingimos a tolerância.

Passo 4

Segunda iteração: calcular x_{3} (ainda procurando manter exatidão com frações)
  • Primeiro f(x_{2}):
f\!\left(\frac{10}{7}\right)=\left(\frac{10}{7}\right)^{3}-4=\frac{1000}{343}-4=\frac{1000-1372}{343}=-\frac{372}{343}.
  • Agora aplicar a fórmula com x_{1}=2 e x_{2}=10/7:
x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\cdot\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})}.
Substituindo frações:
x_{2}-x_{1}=\frac{10}{7}-2=-\frac{4}{7}, \qquad f(x_{2})=-\frac{372}{343}, \qquad f(x_{2})-f(x_{1})=-\frac{372}{343}-4=-\frac{1744}{343}.
Calcule o quociente intermediário:
\frac{f(x_{2})\,(x_{2}-x_{1})}{f(x_{2})-f(x_{1})} =\frac{\left(-\dfrac{372}{343}\right)\left(-\dfrac{4}{7}\right)}{-\dfrac{1744}{343}} =\frac{\dfrac{1488}{2401}}{-\dfrac{1744}{343}} =\frac{1488}{2401}\cdot\frac{343}{-1744} =-\frac{1488}{12208}=-\frac{93}{763}.
Portanto
x_{3}=x_{2}-\Big(-\frac{93}{763}\Big)=\frac{10}{7}+\frac{93}{763}=\frac{1183}{763}\approx1{,}550459.
  • Verificar deslocamento: |x_{3}-x_{2}|\approx1{,}550459-1{,}428571=0{,}121888>0{,}005. Continua.

Passo 5

Terceira iteração: calcular x_{4} (aqui uso aproximações decimais para facilitar os cálculos manuais)
  • Valores aproximados já obtidos:
    • x_{2}\approx1{,}428571, f(x_{2})=-1{,}084548 (pois -372/343\approx-1{,}084548).
    • x_{3}\approx1{,}550459. Vamos calcular f(x_{3}) aproximadamente:
f(x_{3})\approx(1{,}550459)^{3}-4\approx 3{,}727181-4\approx -0{,}272819.
(Explicação rápida: elevar ao cubo pode ser feito como (1{,}550459)^{2} e depois multiplicar por 1{,}550459; para a prova basta 4–5 casas decimais.)
  • Agora aplicar a fórmula:
x_{4}=x_{3}-f(x_{3})\cdot\frac{x_{3}-x_{2}}{f(x_{3})-f(x_{2})}.
Substituindo os números:
x_{3}-x_{2}\approx0{,}121888,\qquad f(x_{3})\approx-0{,}272819,\qquad f(x_{3})-f(x_{2})\approx -0{,}272819-(-1{,}084548)=0{,}811729.
Calcule o termo de correção:
\frac{f(x_{3})\,(x_{3}-x_{2})}{f(x_{3})-f(x_{2})}\approx\frac{-0{,}272819\times0{,}121888}{0{,}811729}\approx-0{,}0410.
Portanto
x_{4}\approx x_{3}-(-0{,}0410)=x_{3}+0{,}0410\approx1{,}550459+0{,}0410\approx1{,}591459.
  • Verificar deslocamento: |x_{4}-x_{3}|\approx0{,}0410>0{,}005. Ainda não basta.

Passo 6

Quarta iteração: calcular x_{5} e verificar critério
  • Estimativas de função nos pontos usados:
    • f(x_{3})\approx-0{,}272819 (já calculado).
    • f(x_{4})\approx(1{,}591459)^{3}-4. Para aproximar rapidamente use expansão linear:
      • Sabendo que x\mapsto x^{3} tem derivada 3x^{2}, e que a raiz real está perto de 1{,}5874, estima-se
      f(x_{4})\approx 3\cdot(1{,}59)^{2}\cdot(1{,}591459-1{,}5874)\approx 7{,}56\times0{,}004059\approx0{,}0307.Logo f(x_{4})\approx+0{,}0307.
  • Aplicar a fórmula da secante entre x_{3} e x_{4}:
x_{5}=x_{4}-f(x_{4})\cdot\frac{x_{4}-x_{3}}{f(x_{4})-f(x_{3})}.
Substituindo:
x_{4}-x_{3}\approx0{,}0410,\qquad f(x_{4})\approx0{,}0307,\qquad f(x_{4})-f(x_{3})\approx0{,}0307-(-0{,}272819)=0{,}303519.
Cálculo do termo:
\frac{f(x_{4})\,(x_{4}-x_{3})}{f(x_{4})-f(x_{3})}\approx\frac{0{,}0307\times0{,}0410}{0{,}303519}\approx0{,}004147.
Portanto
x_{5}\approx x_{4}-0{,}004147\approx1{,}591459-0{,}004147\approx1{,}587312.
  • Agora verificar o critério de parada:
|x_{5}-x_{4}|\approx0{,}004147\le 0{,}005.
Como a diferença entre duas iterações consecutivas ficou menor que a tolerância pedida, paramos aqui.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida
  • Obtivemos a aproximação final x\approx1{,}587312 com critério |x_{5}-x_{4}|\le0{,}005.
  • Para comparação, a raiz exata é \sqrt[3]{4}\approx1{,}587401\ldots, então nossa aproximação está muito próxima (erro na ordem de 10^{-4}), bem dentro da tolerância pedida.
  • Resumo do processo: começando em x_{0}=1,x_{1}=2 aplicaram-se 4 iterações da secante (computando x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}) até que |x_{n+1}-x_{n}|\le0{,}005.

Resposta

\,1{,}587312

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