Determine intervalos que contenham soluções das seguintes equações e confirme se os intervalos possuem somente uma raiz:
x+3^x=0

Passo 1

O enunciado pede para achar intervalos em que a equação
x + 3^x = 0
tenha solução, e confirmar que em cada intervalo há exatamente uma raiz. O conteúdo usado será o Teorema do Valor Intermediário (para garantir a existência de raiz num intervalo em que a função mude de sinal) e o estudo do sinal da derivada (para garantir unicidade da raiz, pela monoticidade).

Passo 2

Defina a função
f(x) = x + 3^x
Observamos que f é contínua em R (soma de função linear e exponencial) e derivável em R. Calculemos a derivada:
f'(x) = 1 + (ln 3),3^x
Como ln 3>0 e 3^x>0 para todo x, conclui-se que
f'(x) > 0forall xinR,
ou seja, f é estritamente crescente. Logo, se encontrarmos um intervalo onde f muda de sinal, teremos exatamente uma raiz nele.

Passo 3

Avalie f em dois pontos:
f(-1) = -1 + 3^-1 = -1 + tfrac13 = -tfrac23 < 0,
f(0) = 0 + 3^0 = 1 > 0
Como f é contínua e f(-1)<0<f(0), pelo Teorema do Valor Intermediário existe ao menos uma raiz em (-1,0).

Passo 4

Pela monoticidade de f (pois f'>0 em todo R), não pode haver mais de uma raiz em R. Portanto, há exatamente uma raiz em (-1,0).

Passo 5

Se quisermos um intervalo mais apertado, avalie f em -0,6 e em -0,5:
f(-0,6)approx -0,6 + 3^-0,6approx -0,6 + 0,5177 = -0,0823 < 0,
f(-0,5) = -0,5 + 3^-0,5 = -0,5 + tfrac1raiz3approx -0,5 + 0,5774 = 0,0774 >0
Logo, existe única raiz em (-0,6,-0,5) também.

Resposta

Intervalo grosso com troca de sinal: (-1,0), que contém exatamente uma raiz.
Intervalo refinado: (-0,6,-0,5), que também contém exatamente uma raiz.

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