Determine intervalos que contenham soluções das seguintes equações e confirme se os intervalos possuem somente uma raiz:
Passo 1
O enunciado pede para achar intervalos em que a equação
tenha solução, e confirmar que em cada intervalo há exatamente uma raiz. O conteúdo usado será o Teorema do Valor Intermediário (para garantir a existência de raiz num intervalo em que a função mude de sinal) e o estudo do sinal da derivada (para garantir unicidade da raiz, pela monoticidade).
Passo 2
Defina a função
Observamos que
é contínua em
(soma de função linear e exponencial) e derivável em
. Calculemos a derivada:
Como
e
para todo
, conclui-se que
ou seja,
é estritamente crescente. Logo, se encontrarmos um intervalo onde
muda de sinal, teremos exatamente uma raiz nele.
Passo 3
Avalie
em dois pontos:
Como
é contínua e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe ao menos uma raiz em
.
Passo 4
Pela monoticidade de
(pois
em todo
), não pode haver mais de uma raiz em
. Portanto, há exatamente uma raiz em
.
Passo 5
Se quisermos um intervalo mais apertado, avalie
em
e em
:
Logo, existe única raiz em
também.
Resposta
Intervalo grosso com troca de sinal:
, que contém exatamente uma raiz.
Intervalo refinado: , que também contém exatamente uma raiz.
Intervalo refinado: