Questão 7 Considere cinco modelos de regressão polinomial , com graus , cada um ajustado com os mesmos 10 pontos. Os erros totais (ou soma dos quadrados dos resíduos) de cada modelo são dados abaixo:
1 2 3 4 5
100 70 55 45 40
Se utilizarmos apenas a variância residual como critério de qualidade, qual é o melhor modelo?
A
B
(C)
(D)
(E)

Passo 1

O enunciado apresenta cinco modelos de regressão polinomial
y = sumk=0^p bk x^k + epsilon
ajustados aos mesmos 10 pontos, com graus p=1,2,3,4,5. Para cada modelo temos a soma dos quadrados dos resíduos
D(b0,dots,bp) = 100,;70,;55,;45,;40
respectivamente. O critério pedido é a variância residual, que avalia a qualidade do ajuste penalizando a complexidade.

Passo 2

A variância residual (ou erro médio quadrático dos resíduos) para um modelo de grau p é dada por
hatsigma^2 = D(b0,dots,bp)graus de liberdade
onde os graus de liberdade são n - (p+1), pois estimamos p+1 parâmetros em n observações.

Passo 3

Aqui n=10, logo os graus de liberdade valem 10 - (p+1) = 9 - p. Calculamos para cada p:
Para p=1:
hatsigma^21 = 10010 - 2 = 1008 = 12,5
Para p=2:
hatsigma^22 = 7010 - 3 = 707 = 10
Para p=3:
hatsigma^23 = 5510 - 4 = 556 approx 9,167
Para p=4:
hatsigma^24 = 4510 - 5 = 455 = 9
Para p=5:
hatsigma^25 = 4010 - 6 = 404 = 10

Passo 4

Comparando os valores de hatsigma^2p, o menor ocorre em p=4, com hatsigma^24=9. Portanto, usando apenas a variância residual como critério de qualidade, o melhor modelo é o de grau 4.

Resposta

(D) p=4

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