Determine intervalos que contenham soluções das seguintes equações e confirme se os intervalos possuem somente uma raiz:
Passo 1
O enunciado pede para achar intervalos em que a equação
tenha soluções e mostrar que em cada um desses intervalos há exatamente uma raiz. O conteúdo que vamos usar é: continuidade da função
para aplicar o Teorema do Valor Intermediário e análise de monotonicidade (derivada) para garantir unicidade da raiz em cada intervalo.
Passo 2
Definimos
Note que
é contínua e derivável em
e
Para estudar monotonicidade, observamos que
implica
que tem duas soluções
e
. Isso mostra que:
– Em ,
então
é estritamente decrescente.
– Em ,
então
é estritamente crescente.
– Em ,
então
é estritamente decrescente.
– Em
– Em
– Em
Passo 3
Procuramos um sinal de mudança em
. Calculamos
e
Como
é decrescente em
e muda de positivo em
para negativo em
, existe exatamente uma raiz em
Passo 4
Agora em
(ramo crescente) há outra mudança de sinal. Verificamos
e
Como
é estritamente crescente em
e
, existe exatamente uma raiz em
Passo 5
Finalmente, em
(ramo decrescente), encontramos
e
Como
é estritamente decrescente para
e há mudança de sinal de
para
, existe exatamente uma raiz em
Resposta
A equação
possui três raízes reais, cada uma contida e única nos intervalos: