Determine intervalos que contenham soluções das seguintes equações e confirme se os intervalos possuem somente uma raiz:
4 x^2-e^x=0

Passo 1

O enunciado pede para achar intervalos em que a equação
4x^2-e^x=0
tenha soluções e mostrar que em cada um desses intervalos há exatamente uma raiz. O conteúdo que vamos usar é: continuidade da função
f(x)=4x^2-e^x
para aplicar o Teorema do Valor Intermediário e análise de monotonicidade (derivada) para garantir unicidade da raiz em cada intervalo.

Passo 2

Definimos
f(x)=4x^2-e^x
Note que f é contínua e derivável em R e
f'(x)=8x - e^x
Para estudar monotonicidade, observamos que f'(x)=0 implica
8x=e^x,
que tem duas soluções x1approx0,14 e x2approx3,26. Isso mostra que:
– Em (-infty,x1), f'<0 então f é estritamente decrescente.
– Em (x1,x2), f'>0 então f é estritamente crescente.
– Em (x2,+infty), f'<0 então f é estritamente decrescente.

Passo 3

Procuramos um sinal de mudança em (-infty,x1). Calculamos
f(-0,5)=4cdot(-0,5)^2-e^-0,5=1- e^-0,5approx1-0,607=0,393>0
e
f(0)=0- e^0=-1<0
Como f é decrescente em (-infty,x1) e muda de positivo em x=-0,5 para negativo em x=0, existe exatamente uma raiz em
(-0,5,,0)

Passo 4

Agora em (x1,x2) (ramo crescente) há outra mudança de sinal. Verificamos
f(0,5)=4cdot(0,5)^2-e^0,5=1-1,6487approx-0,6487<0
e
f(1)=4cdot1^2-e^1=4-2,718approx1,282>0
Como f é estritamente crescente em (x1,x2) e f(0,5)<0<f(1), existe exatamente uma raiz em
(0,5,,1)

Passo 5

Finalmente, em (x2,+infty) (ramo decrescente), encontramos
f(4)=4cdot4^2-e^4=64-54,598approx9,402>0
e
f(5)=4cdot5^2-e^5=100-148,413approx-48,413<0
Como f é estritamente decrescente para x>x2 e há mudança de sinal de f(4)>0 para f(5)<0, existe exatamente uma raiz em
(4,,5)

Resposta

A equação 4x^2-e^x=0 possui três raízes reais, cada uma contida e única nos intervalos:
(-0,5,,0),(0,5,,1),(4,,5)

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