Determine intervalos que contenham soluções das seguintes equações e confirme se os intervalos possuem somente uma raiz:
Passo 1
O enunciado pede para achar intervalos que contenham cada solução da equação
e, em seguida, confirmar que em cada intervalo há exatamente uma raiz. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (para garantir existência de raiz) e o estudo de monotonicidade via a derivada (para garantir unicidade).
Passo 2
Define
. Vamos avaliar
em alguns pontos inteiros para localizar mudanças de sinal:
Como
, há pelo menos uma raiz em
.
Como , há pelo menos uma raiz em
.
Como , há pelo menos uma raiz em
.
Como
Como
Passo 3
Para verificar unicidade, calculamos a derivada
As raízes de
são
O sinal de
é
- positivo para
, - negativo para
, - positivo para
.
Passo 4
Cada intervalo está contido numa região de monotonicidade de
:
-
, onde é estritamente crescente, logo só uma raiz. -
, onde é estritamente decrescente, logo só uma raiz. -
, onde é estritamente crescente, logo só uma raiz.
Resposta
Há exatamente uma raiz em cada um dos intervalos
,
e
.