Determine intervalos que contenham soluções das seguintes equações e confirme se os intervalos possuem somente uma raiz:
x^3-2 x^2-4 x+3=0

Passo 1

O enunciado pede para achar intervalos que contenham cada solução da equação
x^3-2x^2-4x+3=0
e, em seguida, confirmar que em cada intervalo há exatamente uma raiz. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (para garantir existência de raiz) e o estudo de monotonicidade via a derivada (para garantir unicidade).

Passo 2

Define f(x)=x^3-2x^2-4x+3. Vamos avaliar f em alguns pontos inteiros para localizar mudanças de sinal:
f(-2)=(-2)^3-2(-2)^2-4(-2)+3=-8-8+8+3=-5,
f(-1)=(-1)^3-2(-1)^2-4(-1)+3=-1-2+4+3=4,
f(0)=3, f(1)=1-2-4+3=-2,
f(2)=8-8-8+3=-5, f(4)=64-32-16+3=19
Como f(-2)cdot f(-1)<0, há pelo menos uma raiz em (-2,-1).
Como f(0)cdot f(1)<0, há pelo menos uma raiz em (0,1).
Como f(2)cdot f(4)<0, há pelo menos uma raiz em (2,4).

Passo 3

Para verificar unicidade, calculamos a derivada
f'(x)=3x^2-4x-4
As raízes de f' são
x=4pmraiz16+486=4pm86implies x=-tfrac23,;2
O sinal de f' é
  • positivo para x<-tfrac23,
  • negativo para -tfrac23<x<2,
  • positivo para x>2.

Passo 4

Cada intervalo está contido numa região de monotonicidade de f:
  • (-2,-1)subset(-infty,-tfrac23), onde f é estritamente crescente, logo só uma raiz.
  • (0,1)subset(-tfrac23,2), onde f é estritamente decrescente, logo só uma raiz.
  • (2,4)subset(2,infty), onde f é estritamente crescente, logo só uma raiz.

Resposta

Há exatamente uma raiz em cada um dos intervalos
(-2,-1), (0,1) e (2,4).

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