Determine intervalos que contenham soluções das seguintes equações e confirme se os intervalos possuem somente uma raiz:
x^3+4,001 x^2+4,002 x+1,101=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar intervalos que contenham as raízes da equação
f(x)=x^3+4,001,x^2+4,002,x+1,101=0
e mostrar que cada intervalo tem exatamente uma raiz. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raiz onde f muda de sinal, e a derivada f' para verificar monotonicidade e assim a unicidade da raiz em cada intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=3x^2+8,002,x+4,002
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
3x^2+8,002,x+4,002=0
O discriminante é
De<a = (8,002)^2 - 4cdot3cdot4,002 = 16,008004,
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x = -8,002 pm raiz16,0080046 approx -2,167 e -0,667

Passo 3

Estudamos o sinal de f' nos intervalos definidos pelos pontos críticos:
  • Para x< -2,167, f'(x)>0 (função estritamente crescente).
  • Para -2,167<x< -0,667, f'(x)<0 (função estritamente decrescente).
  • Para x> -0,667, f'(x)>0 (função estritamente crescente).
Assim, em cada um desses três intervalos f é monotônica estrita, de modo que só pode existir no máximo uma raiz em cada um.

Passo 4

Calculamos f em pontos estratégicos para achar mudanças de sinal:
f(-3)approx -1,896 < 0,
fl(-2,167r)approx +1,036 > 0,
fl(-0,667r)approx -0,085 < 0,
f(0)=1,101 > 0

Passo 5

Aplicando o Teorema do Valor Intermediário e usando a monotonicidade de cada intervalo, concluímos:
  • Há exatamente uma raiz em l(-3,,-2,167r), pois f(-3)<0 e f(-2,167)>0 com f crescente nesse intervalo.
  • Há exatamente uma raiz em l(-2,167,,-0,667r), pois f(-2,167)>0 e f(-0,667)<0 com f decrescente.
  • Há exatamente uma raiz em l(-0,667,,0r), pois f(-0,667)<0 e f(0)>0 com f crescente.

Resposta

(-3,,-2,167),;(-2,167,,-0,667),;(-0,667,,0), cada um contendo exatamente uma raiz.

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