Determine intervalos que contenham soluções das seguintes equações e confirme se os intervalos possuem somente uma raiz:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar intervalos que contenham as raízes da equação
e mostrar que cada intervalo tem exatamente uma raiz. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raiz onde
muda de sinal, e a derivada
para verificar monotonicidade e assim a unicidade da raiz em cada intervalo.
Passo 2
Calculamos a derivada
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
O discriminante é
logo
Passo 3
Estudamos o sinal de
nos intervalos definidos pelos pontos críticos:
- Para
, (função estritamente crescente). - Para
, (função estritamente decrescente). - Para
, (função estritamente crescente).
Assim, em cada um desses três intervalos
é monotônica estrita, de modo que só pode existir no máximo uma raiz em cada um.
Passo 4
Calculamos
em pontos estratégicos para achar mudanças de sinal:
Passo 5
Aplicando o Teorema do Valor Intermediário e usando a monotonicidade de cada intervalo, concluímos:
- Há exatamente uma raiz em
, pois e com crescente nesse intervalo. - Há exatamente uma raiz em
, pois e com decrescente. - Há exatamente uma raiz em
, pois e com crescente.