Motivação: Exercício retirado de [1]. A função
tem uma única raiz no intervalo
. Tente obter esta raiz usando o método do ponto fixo para cada uma das formas abaixo, usando
, e veja quais delas satisfazem o Teorema do Ponto Fixo:
(a)
(b)
(c)
Primeiramente, mostre que a equação
pode ser colocada em cada uma das formas descritas acima. Proponha outra maneira de representar a equação e teste com cinco iterações do Método do Ponto Fixo.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado trata da equação
cuja única raiz está em
. Vamos usar o método do ponto fixo
com
e testar três formas dadas de
, verificando em quais vale o Teorema do Ponto Fixo (contratividade de
no intervalo). Depois proporemos uma quarta forma alternativa
e faremos cinco iterações.
Passo 2
Mostrar que cada forma realmente vem de
:
- Partindo de
isolamos
o que define
- Escrevendo
definindo
- Também de
obtemos
definindo
Passo 3
Verificação do Teorema do Ponto Fixo (Banach): calculamos
em
e buscamos
.
Para
:
em
já vale
, logo
. Portanto não é contrativa.
Passo 4
Para
:
Em
o maior valor de
ocorre em
:
Logo
é contrativa.
Passo 5
Para
:
Em
dá
logo não é contrativa em todo
.
Passo 6
Cinco iterações para cada
com
:
Para
:
mostrando falta de convergência.
Para
:
Converge rápido para
.
Para
:
ainda que numericamente oscile em torno de
, não satisfaz o teorema global.
Passo 7
Proponho a forma auxiliar
já que
. Cinco iterações:
Resposta
(a)
não satisfaz o Teorema do Ponto Fixo e diverge.
(b) satisfaz o Teorema e converge a aproximadamente
.
(c) não é contrativa em todo
.
(b)
(c)
Forma extra
também não conduz à raiz pelo método do ponto fixo.