Motivação: Exercício retirado de [1]. A função f(x)=x^3+4 x^2-10 tem uma única raiz no intervalo [1,2]. Tente obter esta raiz usando o método do ponto fixo para cada uma das formas abaixo, usando x0=1.5, e veja quais delas satisfazem o Teorema do Ponto Fixo:
(a) g1(x)=x-x^3-4 x^2+10
(b) g2(x)=(10x+4)^1 / 2
(c) g3(x)=12 raiz[2]10-x^3
Primeiramente, mostre que a equação f(x)=0 pode ser colocada em cada uma das formas descritas acima. Proponha outra maneira de representar a equação e teste com cinco iterações do Método do Ponto Fixo.

Passo 1

O enunciado trata da equação
f(x)=x^3+4x^2-10=0
cuja única raiz está em [1,2]. Vamos usar o método do ponto fixo xn+1=g(xn) com x0=1,5 e testar três formas dadas de g, verificando em quais vale o Teorema do Ponto Fixo (contratividade de g no intervalo). Depois proporemos uma quarta forma alternativa g4 e faremos cinco iterações.

Passo 2

Mostrar que cada forma realmente vem de f(x)=0:
  1. Partindo de x^3+4x^2-10=0 isolamos
x = x - l(x^3+4x^2-10r),
o que define
g1(x)=x - x^3 -4x^2+10
  1. Escrevendo
x^3+4x^2=10 Longrightarrow x^2(x+4)=10 Longrightarrow x=raiz10,x+4,,
definindo
g2(x)=l(tfrac10x+4r)^1/2
  1. Também de x^3+4x^2=10 obtemos
4x^2=10 - x^3 Longrightarrow x=12raiz,10 - x^3,,
definindo
g3(x)=tfrac12raiz10 - x^3

Passo 3

Verificação do Teorema do Ponto Fixo (Banach): calculamos gi'(x) em [1,2] e buscamos max|gi'(x)|<1.
Para g1(x):
g1'(x)=1-3x^2-8x,
em x=1 já vale g1'(1)=1-3-8=-10, logo |g1'|gg1. Portanto não é contrativa.

Passo 4

Para g2(x)=l(10/(x+4)r)^1/2:
g2'(x) =12l(10/(x+4)r)^-1/2cdotl(-tfrac10(x+4)^2r) =-raiz102,(x+4)^3/2
Em [1,2] o maior valor de |g2'(x)| ocorre em x=1:
|g2'(1)|=raiz102cdot5^3/2approx0,142<1
Logo g2 é contrativa.

Passo 5

Para g3(x)=tfrac12raiz10 - x^3:
g3'(x) =12cdot12(10-x^3)^-1/2cdot(-3x^2) =-3x^24raiz10-x^3
Em x=2
|g3'(2)|=3cdot44raiz10-8=124raiz2approx2,12>1,
logo não é contrativa em todo [1,2].

Passo 6

Cinco iterações para cada gi com x0=1,5:
Para g1:
x1&=g1(1,5)=1,5-(1,5^3+4cdot1,5^2-10)=-0,875, x2&approx6,7315,;x3,x4,x5 já diver>=m, á
mostrando falta de convergência.
Para g2:
x1&=raiztfrac105,5approx1,3484, x2&=raiztfrac101,3484+4approx1,3675, x3&approx1,3650,;x4approx1,3652,;x5approx1,3651
Converge rápido para xapprox1,3652.
Para g3:
x1&=tfrac12raiz10-1,5^3approx1,2865, x2&approx1,4030,;x3approx1,3450,;x4approx1,3755,;x5approx1,3600,
ainda que numericamente oscile em torno de 1,36, não satisfaz o teorema global.

Passo 7

Proponho a forma auxiliar
g4(x)=raiz[3],10 - 4x^2,,
já que x^3+4x^2=10implies x=(10-4x^2)^1/3. Cinco iterações:
x1&=(10-4cdot1,5^2)^1/3=(10-9)^1/3=1,0000, x2&=(10-4cdot1^2)^1/3=6^1/3approx1,8171, x3&=(10-4cdot1,8171^2)^1/3approx(-3,208)^1/3approx-1,476, x4,x5&;já não conver>=m ao valor desejado áã

Resposta

(a) g1 não satisfaz o Teorema do Ponto Fixo e diverge.
(b) g2 satisfaz o Teorema e converge a aproximadamente 1,3652.
(c) g3 não é contrativa em todo [1,2].
Forma extra g4(x)=(10-4x^2)^1/3 também não conduz à raiz pelo método do ponto fixo.

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