Com uso do MEG, resolva:
\left(\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 1 \\\\ -3 & 1 & 3 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 3 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear na forma matricial e pede que a gente o resolva usando o MEG (Método da Eliminação de Gauss). As informações fornecidas são:
  • Matriz dos coeficientes:
\begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 1 \\\\ -3 & 1 & 3 \end{pmatrix}
  • Vetor incógnitas:
\begin{pmatrix} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{pmatrix}
  • Vetor de termos independentes:
\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 3 \end{pmatrix}
O que se pede: encontrar \;x_{1},x_{2},x_{3}\; que satisfazem a igualdade
\begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 1 \\\\ -3 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 3 \end{pmatrix}.

Passo 2

Breve explicação do MEG (Método da Eliminação de Gauss) — o que posso usar na prova:
  • O MEG transforma o sistema em uma forma triangular (ou escalonada) por operações elementares sobre linhas, mantendo as mesmas soluções.
  • Operações elementares permitidas (não mudam o conjunto de soluções):
    1. trocar duas linhas;
    2. multiplicar uma linha por um número não nulo;
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • Depois de deixar a matriz na forma escalonada, resolve-se por substituição regressiva (back-substitution): primeiro encontra-se a última incógnita e vai-se subindo.
    Vou aplicar isso passo a passo, explicando cada operação e por que faço.

Passo 3

Escrevo o sistema na forma de matriz aumentada (concatenei a matriz dos coeficientes com o vetor dos termos independentes). Isso facilita aplicar operações de linha:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 2 & 1 & 1\\[4pt] -3 & 1 & 3 & 3 \end{array}\right]
Cada linha representa uma equação do sistema. O objetivo é zerar entradas abaixo do pivô na primeira coluna, depois abaixo do pivô da segunda, etc.]

Passo 4

Escolho o pivô da primeira coluna como o elemento \;3\; na primeira linha (é não-nulo, então tudo certo). Vou zerar as entradas abaixo dele nas linhas 2 e 3 usando operações de linha:
  • Para zerar o elemento da linha 2, coluna 1: faço \;R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}.
    Calculando cada entrada da nova R_{2}: \begin{aligned} &3-3=0,\\\ &2-0=2,\\\ &1-1=0,\\\ &1-1=0. \end{aligned}Então a nova R_{2} é \;(0\;,\;2\;,\;0\;|\;0)\;.
  • Para zerar o elemento da linha 3, coluna 1: faço \;R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{1}.
    Calculando cada entrada da nova R_{3}: \begin{aligned} &-3+3=0,\\\ &1+0=1,\\\ &3+1=4,\\\ &3+1=4. \end{aligned}Então a nova R_{3} é \;(0\;,\;1\;,\;4\;|\;4)\;.
Aplicando essas operações, a matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 4 & 4 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora a segunda linha ficou muito simples: \;0\cdot x_{1}+2\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}=0\;. Escrevendo como equação:
2x_{2}=0.
Isso já nos dá, por divisão por 2,
x_{2}=0.
Expliquei: como a operação de dividir ambos os lados por 2 é válida (não é divisão por zero), obtemos x_{2}=0.

Passo 6

Com o valor de \;x_{2}\; encontrado, uso a terceira linha (que representa \;0\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}+4\cdot x_{3}=4\;). Substituo \;x_{2}=0\; nessa equação:
0 + 1\cdot 0 + 4x_{3}=4 \quad\Longrightarrow\quad 4x_{3}=4.
Dividindo ambos os lados por 4:
x_{3}=1.

Passo 7

Agora uso a primeira linha para encontrar \;x_{1}. A primeira linha representa \;3x_{1}+0\cdot x_{2}+1\cdot x_{3}=1\;. Substituo \;x_{2}=0\; e \;x_{3}=1\;:
3x_{1}+0+1=1 \quad\Longrightarrow\quad 3x_{1}+1=1.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
3x_{1}=0.
Dividindo por 3:
x_{1}=0.

Passo 8

Cheque rápido (sempre bom verificar na prova):
  • Primeira equação original: \;3x_{1}+0\cdot x_{2}+1x_{3}=1\;. Substituindo \;(0,0,1): 3\cdot 0 + 0 + 1\cdot 1 = 1 \quad\checkmark
  • Segunda equação: \;3x_{1}+2x_{2}+1x_{3}=1\;. 3\cdot 0 + 2\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1 \quad\checkmark
  • Terceira equação: \;-3x_{1}+1x_{2}+3x_{3}=3\;. -3\cdot 0 + 1\cdot 0 + 3\cdot 1 = 3 \quad\checkmark
Tudo confere: solução correta.

Resposta

x_{1}=0
x_{2}=0
x_{3}=1

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