O enunciado nos dá um sistema linear na forma matricial e pede que a gente o resolva usando o MEG (Método da Eliminação de Gauss). As informações fornecidas são:
Breve explicação do MEG (Método da Eliminação de Gauss) — o que posso usar na prova:
O MEG transforma o sistema em uma forma triangular (ou escalonada) por operações elementares sobre linhas, mantendo as mesmas soluções.
Operações elementares permitidas (não mudam o conjunto de soluções):
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um número não nulo;
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Depois de deixar a matriz na forma escalonada, resolve-se por substituição regressiva (back-substitution): primeiro encontra-se a última incógnita e vai-se subindo.
Vou aplicar isso passo a passo, explicando cada operação e por que faço.
Passo 3
Escrevo o sistema na forma de matriz aumentada (concatenei a matriz dos coeficientes com o vetor dos termos independentes). Isso facilita aplicar operações de linha:
Cada linha representa uma equação do sistema. O objetivo é zerar entradas abaixo do pivô na primeira coluna, depois abaixo do pivô da segunda, etc.]
Passo 4
Escolho o pivô da primeira coluna como o elemento \;3\; na primeira linha (é não-nulo, então tudo certo). Vou zerar as entradas abaixo dele nas linhas 2 e 3 usando operações de linha:
Para zerar o elemento da linha 2, coluna 1: faço \;R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}.
Calculando cada entrada da nova R_{2}:\begin{aligned} &3-3=0,\\\ &2-0=2,\\\ &1-1=0,\\\ &1-1=0. \end{aligned}Então a nova R_{2} é \;(0\;,\;2\;,\;0\;|\;0)\;.
Para zerar o elemento da linha 3, coluna 1: faço \;R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{1}.
Calculando cada entrada da nova R_{3}:\begin{aligned} &-3+3=0,\\\ &1+0=1,\\\ &3+1=4,\\\ &3+1=4. \end{aligned}Então a nova R_{3} é \;(0\;,\;1\;,\;4\;|\;4)\;.
Aplicando essas operações, a matriz aumentada fica:
Agora a segunda linha ficou muito simples: \;0\cdot x_{1}+2\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}=0\;. Escrevendo como equação:
2x_{2}=0.
Isso já nos dá, por divisão por 2,
x_{2}=0.
Expliquei: como a operação de dividir ambos os lados por 2 é válida (não é divisão por zero), obtemos x_{2}=0.
Passo 6
Com o valor de \;x_{2}\; encontrado, uso a terceira linha (que representa \;0\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}+4\cdot x_{3}=4\;). Substituo \;x_{2}=0\; nessa equação:
Agora uso a primeira linha para encontrar \;x_{1}. A primeira linha representa \;3x_{1}+0\cdot x_{2}+1\cdot x_{3}=1\;. Substituo \;x_{2}=0\; e \;x_{3}=1\;: