Use os seguintes métodos para obtenção das raízes das funções apresentadas segundo a precisão exigida:
c) \mathrm{MN} ; f(x)=\ln (x)+x-4 ; \epsilon=0.0001;

Passo 1

O enunciado pede: aplicar o método de Newton (indicador “MN”) para aproximar a raiz da função f com precisão \epsilon=0{,}0001. A função e os dados são:
  • f(x)=\ln(x)+x-4.
  • Precisão exigida: \epsilon=0{,}0001.
    Informações dadas úteis:
  • O domínio de f é x>0 (porque há \ln(x)).
  • Precisamos obter uma aproximação x^\ast tal que, usando o critério que escolheremos, a diferença entre iterações seja menor que \epsilon (ver passo seguinte).

Passo 2

Escolha do critério de parada e de um chute inicial. Explicando de forma prática e usada em provas:
  • Critério de parada que vamos usar: |x_{n+1}-x_n|<\epsilon. Isso significa que duas aproximações sucessivas ficam suficientemente próximas.
  • Para escolher um chute inicial x_0 é útil localizar um intervalo onde o sinal de f mude. Calcule: f(2)=\ln(2)+2-4\approx0{,}6931+2-4=-1{,}3069<0,
f(3)=\ln(3)+3-4\approx1{,}0986+3-4=0{,}0986>0.
Como f(2)<0 e f(3)>0, existe uma raiz entre 2 e 3. Escolho x_0=3 porque está perto da raiz e facilita a convergência do método de Newton.

Passo 3

Fórmula do método de Newton e derivada da função (aula rápida sobre o método):
  • O método de Newton gera iterativamente x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}.A ideia é aproximar f por sua reta tangente em x_n e tomar a interseção dessa reta com o eixo x.
  • Aqui f(x)=\ln(x)+x-4,\qquad f'(x)=\dfrac{1}{x}+1.
  • Vamos aplicar essa fórmula com x_0=3 e usar o critério |x_{n+1}-x_n|<0{,}0001.

Passo 4

Primeira iteração ( n=0):
  • Calcule f(3) e f'(3): f(3)=\ln(3)+3-4=\ln(3)-1\approx1{,}098612289-1=0{,}098612289,
f'(3)=1+\dfrac{1}{3}=1{,}333333333.
  • Aplicando Newton: x_1=3-\dfrac{0{,}098612289}{1{,}333333333}=3-0{,}073959217\approx2{,}926040783.
  • Diferença |x_1-x_0|=|2{,}926040783-3|=0{,}073959217> \epsilon, então ainda não paramos.

Passo 5

Segunda iteração ( n=1). Primeiro precisamos de f(x_1) e f'(x_1). Como \ln não é tabuleta simples, uso uma técnica prática para calcular \ln(x_1) sem calculadora: escrever
\ln(x_1)=\ln(3)+\ln\!\left(\dfrac{x_1}{3}\right),
e para \ln(1+u) com u pequeno usar a expansão \ln(1+u)\approx u-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{3} (suficiente para a precisão que precisamos).
  • Calcule u=\dfrac{x_1}{3}-1=\dfrac{2{,}926040783}{3}-1=-0{,}024653072.
  • Então \ln\!\left(\dfrac{x_1}{3}\right)\approx -0{,}024653072-\dfrac{(-0{,}024653072)^2}{2}-\dfrac{(-0{,}024653072)^3}{3}
\approx -0{,}024653072-0{,}000303705-0{,}000004990\approx -0{,}024961767.
  • Assim \ln(x_1)\approx\ln(3)-0{,}024961767\approx1{,}098612289-0{,}024961767=1{,}073650522.
  • Agora f(x_1)=\ln(x_1)+x_1-4\approx1{,}073650522+2{,}926040783-4=-0{,}000308695.
  • E f'(x_1)=1+\dfrac{1}{x_1}\approx1+\dfrac{1}{2{,}926040783}\approx1+0{,}341753632=1{,}341753632.
  • Aplicando Newton: x_2=x_1-\dfrac{f(x_1)}{f'(x_1)}\approx2{,}926040783-\dfrac{-0{,}000308695}{1{,}341753632}=2{,}926040783+0{,}000230128\approx2{,}926270911.
  • Diferença |x_2-x_1|=0{,}000230128>\epsilon, ainda não podemos parar.

Passo 6

Terceira iteração ( n=2). Repetimos os mesmos passos para x_2:
  • Calcule u=\dfrac{x_2}{3}-1=\dfrac{2{,}926270911}{3}-1=-0{,}024576363.
  • Aproximação de \ln\!\left(\dfrac{x_2}{3}\right): \ln\!\left(\dfrac{x_2}{3}\right)\approx -0{,}024576363-\dfrac{(-0{,}024576363)^2}{2}-\dfrac{(-0{,}024576363)^3}{3}
\approx -0{,}024576363-0{,}000302102-0{,}000004951\approx -0{,}024883416.
  • Logo \ln(x_2)\approx1{,}098612289-0{,}024883416=1{,}073728873.
  • Então f(x_2)=\ln(x_2)+x_2-4\approx1{,}073728873+2{,}926270911-4\approx -0{,}000000214 \quad(\text{aprox }-2{,}14\times10^{-7}).
  • E f'(x_2)=1+\dfrac{1}{x_2}\approx1+\dfrac{1}{2{,}926270911}\approx1{,}341744\\ (\text{aprox}).
  • Aplicando Newton: x_3=x_2-\dfrac{f(x_2)}{f'(x_2)}\approx2{,}926270911-\dfrac{-2{,}14\times10^{-7}}{1{,}341744}\approx2{,}926270911+0{,}000000160\approx2{,}926271071.
  • Diferença |x_3-x_2|\approx0{,}000000160<\epsilon. Portanto o critério de parada foi satisfeito e podemos aceitar x_3 como aproximação da raiz.

Passo 7

Verificações finais e interpretação:
  • Obtivemos convergência rápida (isso é típico do método de Newton quando a derivada não é nula perto da raiz).
  • A aproximação final com o critério escolhido é x\approx2{,}92627 (arredondando para 5 casas decimais, compatível com \epsilon=0{,}0001).
  • O valor de f(x_3) é da ordem de 10^{-7}, muito menor que \epsilon, o que confirma a boa precisão da aproximação.

Resposta

2{,}92627

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