Use os seguintes métodos para obtenção das raízes das funções apresentadas segundo a precisão exigida:
c)
;
c)
Passo 1
O enunciado pede: aplicar o método de Newton (indicador “MN”) para aproximar a raiz da função
com precisão
. A função e os dados são:
-
. - Precisão exigida:
.
Informações dadas úteis: - O domínio de
é (porque há ). - Precisamos obter uma aproximação
tal que, usando o critério que escolheremos, a diferença entre iterações seja menor que (ver passo seguinte).
Passo 2
Escolha do critério de parada e de um chute inicial. Explicando de forma prática e usada em provas:
- Critério de parada que vamos usar:
. Isso significa que duas aproximações sucessivas ficam suficientemente próximas. - Para escolher um chute inicial
é útil localizar um intervalo onde o sinal de mude. Calcule:
Como
e
, existe uma raiz entre
e
. Escolho
porque está perto da raiz e facilita a convergência do método de Newton.
Passo 3
Fórmula do método de Newton e derivada da função (aula rápida sobre o método):
- O método de Newton gera iterativamente
A ideia é aproximar por sua reta tangente em e tomar a interseção dessa reta com o eixo . - Aqui
- Vamos aplicar essa fórmula com
e usar o critério .
Passo 4
Primeira iteração (
):
- Calcule
e :
- Aplicando Newton:
- Diferença
, então ainda não paramos.
Passo 5
Segunda iteração (
). Primeiro precisamos de
e
. Como
não é tabuleta simples, uso uma técnica prática para calcular
sem calculadora: escrever
e para
com
pequeno usar a expansão
(suficiente para a precisão que precisamos).
- Calcule
. - Então
- Assim
- Agora
- E
- Aplicando Newton:
- Diferença
, ainda não podemos parar.
Passo 6
Terceira iteração (
). Repetimos os mesmos passos para
:
- Calcule
. - Aproximação de
:
- Logo
- Então
- E
- Aplicando Newton:
- Diferença
. Portanto o critério de parada foi satisfeito e podemos aceitar como aproximação da raiz.
Passo 7
Verificações finais e interpretação:
- Obtivemos convergência rápida (isso é típico do método de Newton quando a derivada não é nula perto da raiz).
- A aproximação final com o critério escolhido é
(arredondando para 5 casas decimais, compatível com ). - O valor de
é da ordem de , muito menor que , o que confirma a boa precisão da aproximação.