Determine:
\left|\frac{1+4 i}{4+i}\right|

Passo 1

O enunciado pede o módulo de um quociente de números complexos, ou seja, calcular \left|\frac{1+4 i}{4+i}\right|. O conteúdo aqui é a propriedade de módulo de quociente: para quaisquer complexos z e w\neq0, vale
\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{|z|}{|w|}.

Passo 2

Calculamos o módulo do numerador z = 1+4i. Por definição,
|1+4i| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}.

Passo 3

Calculamos o módulo do denominador w = 4+i. Por definição,
|4+i| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}.

Passo 4

Aplicando a propriedade do módulo de quociente, temos
\left|\frac{1+4i}{4+i}\right| = \frac{|1+4i|}{|4+i|} = \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}.

Passo 5

Fazendo a divisão,
\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}} = 1.

Resposta

1

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