Determine:
\operatorname{Im} \frac{1}{z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a parte imaginária de \frac{1}{z^2}, onde z é um número complexo qualquer. Para isso vamos escrever z na forma cartesiana z = x + i y e usar operações básicas: cálculo de z^2, módulo de um complexo e a fórmula
\frac{1}{w} = \frac{\overline{w}}{|w|^2}.

Passo 2

Escrevendo z = x + i y, temos
z^2 = (x + i y)^2 = x^2 - y^2 + i\,2xy.

Passo 3

Para inverter z^2, aplicamos a fórmula da inversa de um complexo w:
\frac{1}{z^2} = \frac{\overline{z^2}}{\bigl|z^2\bigr|^2}.
Aqui \overline{z^2} = x^2 - y^2 - i\,2xy.

Passo 4

Calculamos o quadrado do módulo de z^2:
\bigl|z^2\bigr|^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2 = x^4 -2x^2y^2 + y^4 +4x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2.

Passo 5

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\frac{1}{z^2} = \frac{x^2 - y^2 - i\,2xy}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} \;-\; i\,\frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}.
Dessa forma, a parte imaginária é o coeficiente de i com sinal negativo:

Resposta

\Im\!\bigl(\tfrac{1}{z^2}\bigr) = -\frac{2\,x\,y}{\bigl(x^2 + y^2\bigr)^2}.

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