Determine:
\left|\frac{z-1}{z+1}\right|

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos o módulo da expressão
\left|\frac{z-1}{z+1}\right|
onde z é um número complexo. O conteúdo usado será a propriedade do módulo de um quociente de números complexos.

Passo 2

Usamos a propriedade
\left|\frac{w_1}{w_2}\right| = \frac{|w_1|}{|w_2|},
válida para quaisquer números complexos w_1 e w_2\neq0. Aqui w_1=z-1 e w_2=z+1, então
\left|\frac{z-1}{z+1}\right| = \frac{|z-1|}{|z+1|}.

Passo 3

Se escrevemos z = x + i y com x,y\in\mathbb{R}, então
|z-1| = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}, \quad |z+1| = \sqrt{(x+1)^2 + y^2}.
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\left|\frac{z-1}{z+1}\right| = \frac{\sqrt{(x-1)^2 + y^2}}{\sqrt{(x+1)^2 + y^2}}.

Resposta

\left|\frac{z-1}{z+1}\right| = \frac{|z-1|}{|z+1|} = \frac{\sqrt{(x-1)^2 + y^2}}{\sqrt{(x+1)^2 + y^2}}.

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