Determine o limite e a taxa de convergência das seguintes sequências.
Para cada sequência a seguir, determine se ela converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
x_{k}=\frac{1}{2 k}
Passo 1
Beleza, exercício bem direto: temos a sequência
e queremos (a) descobrir pra que valor ela converge (ou se diverge) e (b) qual é a “taxa de convergência”.
Conteúdo: limite de sequência e conceito de taxa de convergência (como o erro cai quando k cresce).
O que vamos precisar:
Propriedade básica de limite .
Definição de taxa de convergência: normalmente a gente compara com ou usa notação “O(·)”.
Passo 2
Primeiro o limite mesmo. A gente sabe que
Então, como tem só um 2 no denominador,
Logo a sequência converge e o limite é 0.
Passo 3
Agora, o que é “taxa de convergência”?
Uma forma intuitiva é ver como o erro ek = Ol(1kr), decai quando cresce.
Aqui , então .
Se a gente diz que “ é da ordem de ”, escrevemos
o que significa que existe constante tal que para grande – aqui dá pra escolher .
Passo 4
Para conectar com a ideia de ordem limktoinfty|xk+1-L||xk-L|^alpha=C : a gente costuma ver se existe xk+1(xk)^alpha =1/(2(k+1))l(1/(2k)r)^alpha =12(k+1);(2k)^alpha1 =2^alpha,k^alpha2,(k+1) =2^alpha-1,k^alphak+1 e 2^1-1,k^1k+1 =kk+1;longrightarrow;1 tais que
Substituindo e :
Para isso vira
Ou seja, a ordem natural é com constante . Como , chamamos de convergência sublinear e, na prática, dizemos que o erro cai como .
Resposta
A sequência xk = O!l(1/kr), converge para 0, e sua taxa de convergência é do tipo
isto é, o erro decai de forma inversamente proporcional a .