Determine o limite e a taxa de convergência das seguintes sequências.
Para cada sequência a seguir, determine se ela converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
x_{k}=\frac{1}{k!}

Passo 1

Beleza, vamos por partes. O enunciado pede para analisar a sequência
xk = 1k!
e determinar (1) se ela converge ou diverge e, se convergir, qual é o limite, e (2) qual é a “taxa de convergência”.
Conteúdo principal: limites de sequência, crescimento fatorial e teste da razão para taxa de convergência.
O que precisamos:
  • Entender que cresce muito rápido.
  • Saber calcular .
  • Aplicar o teste da razão para ver quão rápido vai a zero.

Passo 2

Vamos primeiro achar o limite
limktoinfty xk ;=;limktoinfty1k!
Lembra que
k! = 1cdot2cdot3cdots k
fica cada vez gigantesco quando 1k!;longrightarrow;0 cresce. Então boxed0 vira um número cada vez menor. Formalmente, sabendo que , concluímos
Logo, a sequência converge e o limite é

Passo 3

Agora, a “taxa de convergência”. Uma forma simples é usar o teste da razão: calcular
rk = |xk+1xk| = tfrac1(k+1)!tfrac1k! = k!(k+1)! = 1k+1
Então
limktoinftyrk ;=;limktoinfty1k+1;=;0
Interpretação:
  • Se com , chamamos de convergência linear.
  • Se , a convergência é superlinear (aqui, ainda mais rápida que exponencial, às vezes chamada “superexponencial”).

Resposta

A sequência limktoinftyxk+1xk ;=;0 converge para 0, e a taxa de convergência é superlinear (de fato superexponencial), pois

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