Determine o limite e a taxa de convergência das seguintes sequências.
Para cada sequência a seguir, determine se ela converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
x_{k}=\frac{1}{k!}
Passo 1
Beleza, vamos por partes. O enunciado pede para analisar a sequência
e determinar (1) se ela converge ou diverge e, se convergir, qual é o limite, e (2) qual é a “taxa de convergência”.
Conteúdo principal: limites de sequência, crescimento fatorial e teste da razão para taxa de convergência.
O que precisamos:
Entender que cresce muito rápido.
Saber calcular .
Aplicar o teste da razão para ver quão rápido vai a zero.
Passo 2
Vamos primeiro achar o limite
Lembra que
fica cada vez gigantesco quando cresce. Então vira um número cada vez menor. Formalmente, sabendo que , concluímos
Logo, a sequência converge e o limite é
Passo 3
Agora, a “taxa de convergência”. Uma forma simples é usar o teste da razão: calcular
Então
limktoinftyrk ;=;limktoinfty1k+1;=;0
Interpretação:
Se com , chamamos de convergência linear.
Se , a convergência é superlinear (aqui, ainda mais rápida que exponencial, às vezes chamada “superexponencial”).
Resposta
A sequência limktoinftyxk+1xk ;=;0 converge para 0, e a taxa de convergência é superlinear (de fato superexponencial), pois