Demonstrar que a raíz raiz[p]a, a>0, pode ser calculada pela fórmula de recorrência
xk+1=1p((p-1) xk+axk^p-1)
com x0>0.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que a raiz xk+1 ;=; 1pl((p-1)xk + axk^p-1r), (com ) pode ser achada iterativamente por
partindo de um chute inicial .
Conteúdo principal: método de Newton para encontrar raízes de funções, derivada de . Vamos precisar lembrar como o método de Newton funciona e fazer a conta com .

Passo 2

Primeiro, a ideia do método de Newton: para achar a raiz de xk+1 ;=; xk ;-; f(xk)f'(xk) , começamos com um palpite e refinamos por
Aqui o “conteúdo de teoria” é a fórmula geral de Newton, que vem da reta tangente em .

Passo 3

No nosso caso, escolhemos
f(x) = x^p - a
Então a derivada é
f'(x) = p,x^p-1
Isso significa que, aplicando Newton, vamos ter
xk+1 = xk ;-; xk^p - ap,xk^,p-1

Passo 4

Agora é só arrumar essa expressão:
xk+1 = xk - xk^p - ap xk^p-1 = p,xk^p - (xk^p - a)p,xk^p-1 = (p-1)xk^p + ap,xk^p-1
Dividindo xk+1 = 1pl((p-1),xk + axk^p-1r), por , dá . Então
que é exatamente a recorrência pedida.

Passo 5

Por fim, a gente checa que o ponto fixo dessa iteração (quando x = 1pl((p-1)x + ax^p-1r) ;Longrightarrow; p,x = (p-1)x + ax^p-1 ;Longrightarrow; x^p = a ;Longrightarrow; x = raiz[p]a ) resolve
Além disso, o método de Newton em torno de uma raíz simples converge bem se o chute inicial for positivo.

Resposta

A recorrência
xk+1 ;=; 1pl((p-1)xk + axk^p-1r)
é exatamente a aplicação do método de Newton em , e seu limite é .

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