Demonstrar que a raíz
, pode ser calculada pela fórmula de recorrência
com
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que a raiz
(com
) pode ser achada iterativamente por
partindo de um chute inicial
.
Conteúdo principal: método de Newton para encontrar raízes de funções, derivada de . Vamos precisar lembrar como o método de Newton funciona e fazer a conta com
.
Conteúdo principal: método de Newton para encontrar raízes de funções, derivada de
Passo 2
Primeiro, a ideia do método de Newton: para achar a raiz de
, começamos com um palpite
e refinamos por
Aqui o “conteúdo de teoria” é a fórmula geral de Newton, que vem da reta tangente em
.
Passo 3
No nosso caso, escolhemos
Então a derivada é
Isso significa que, aplicando Newton, vamos ter
Passo 4
Agora é só arrumar essa expressão:
Dividindo
por
, dá
. Então
que é exatamente a recorrência pedida.
Passo 5
Por fim, a gente checa que o ponto fixo dessa iteração (quando
) resolve
Além disso, o método de Newton em torno de uma raíz simples converge bem se o chute inicial for positivo.
Resposta
A recorrência
é exatamente a aplicação do método de Newton em
, e seu limite é
.