Determine o limite e a taxa de convergência das seguintes sequências.
Para cada sequência a seguir, determine se ela converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
x_{1}=1, \quad x_{k+1}=\frac{x_{k}}{k}
Para cada sequência a seguir, determine se ela converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
x_{1}=1, \quad x_{k+1}=\frac{x_{k}}{k}
Passo 1
O enunciado pede para a sequência
a) descobrir se ela converge ou diverge;
b) se convergir, achar o limite;
c) determinar a taxa (ordem) de convergência.
Conteúdo: limites de sequências, recorrência e classificação de convergência (linear, superlinear etc.). Vamos usar cálculo de termos por recorrência, propriedades de fatoriais e análise da razão entre termos.
b) se convergir, achar o limite;
c) determinar a taxa (ordem) de convergência.
Conteúdo: limites de sequências, recorrência e classificação de convergência (linear, superlinear etc.). Vamos usar cálculo de termos por recorrência, propriedades de fatoriais e análise da razão entre termos.
Passo 2
Vamos calcular os primeiros termos para “achar um padrão”:
x₁ = 1
x₂ = x₁/1 = 1
x₃ = x₂/2 = 1/2
x₄ = x₃/3 = (1/2)/3 = 1/(2·3)
x₅ = x₄/4 = 1/(2·3·4)
…
Perceba que, a cada passo, multiplicamos o denominador por k–1. Logo, para k≥2:
x₁ = 1
x₂ = x₁/1 = 1
x₃ = x₂/2 = 1/2
x₄ = x₃/3 = (1/2)/3 = 1/(2·3)
x₅ = x₄/4 = 1/(2·3·4)
…
Perceba que, a cada passo, multiplicamos o denominador por k–1. Logo, para k≥2:
Passo 3
Agora que temos a forma explícita
vemos o comportamento quando k→∞. Sabemos que (k–1)! cresce muito rápido (fatorial), então
Logo, a sequência converge e o limite é 0.
Passo 4
Para classificar a taxa de convergência, usamos a razão entre termos sucessivos:
Como
isso significa que a sequência converge de forma superlinear (muito mais rápido que linear), pois a razão tende a zero.
Resposta
A sequência converge para
e a taxa de convergência é superlinear, já que