Determine o limite e a taxa de convergência das seguintes sequências.
Para cada sequência a seguir, determine se ela converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
x_{k}=\left(\frac{1}{4}\right){2{k}}
Para cada sequência a seguir, determine se ela converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
x_{k}=\left(\frac{1}{4}\right){2{k}}
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício.
Enunciado: “Determine o limite e a taxa de convergência da sequência
Enunciado: “Determine o limite e a taxa de convergência da sequência
Conteúdo: limites de sequência e definição de ordem (taxa) de convergência.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Saber que se base
e o expoente vai a infinito, . - Entender a definição de ordem de convergência: se
é o limite, o erro . Dizemos que converge com ordem se
Passo 2
Primeiro, o limite. Aqui
e
quando
. Como
, toda potência grande vai para zero.
Logo
Logo
Passo 3
Agora a taxa de convergência.
- Definimos o erro
. - Calculamos
em função de :
- Isso mostra que
- Para identificar a ordem
, comparamos
Para que isso convirja a uma constante não nula e finita, precisamos de
, ou seja
.
Depois, a constante será
Depois, a constante
Resposta
A sequência
converge para 0 e a taxa de convergência é de ordem
(convergência quadrática), com constante assintótica
.