Determine o limite e a taxa de convergência das seguintes sequências.
Para cada sequência a seguir, determine se ela converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
x_{k}=\left(\frac{1}{4}\right){2{k}}

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício.
Enunciado: “Determine o limite e a taxa de convergência da sequência
xk=l(tfrac14r)^2^k
Conteúdo: limites de sequência e definição de ordem (taxa) de convergência.
O que vamos precisar:
  1. Saber que se base limktoinftyek+1ek^alpha=C, 0 e o expoente vai a infinito, .
  2. Entender a definição de ordem de convergência: se é o limite, o erro . Dizemos que converge com ordem se

Passo 2

Primeiro, o limite. Aqui limktoinftyxk=limktoinftyl(tfrac14r)^2^k=0 e quando . Como , toda potência grande vai para zero.
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Passo 3

Agora a taxa de convergência.
  1. Definimos o erro xk+1=l(tfrac14r)^2^,k+1 =l(tfrac14r)^2cdot2^k =l[(tfrac14)^2^kr]^2 =(xk)^2 .
  2. Calculamos ek+1 = ek^2 em função de ek+1ek^alpha =ek^2ek^alpha =ek^2-alpha :
C = limktoinftyek+1ek^2 =limktoinfty1 = 1
  1. Isso mostra que
  1. Para identificar a ordem , comparamos
Para que isso convirja a uma constante não nula e finita, precisamos de , ou seja .
Depois, a constante será

Resposta

A sequência converge para 0 e a taxa de convergência é de ordem (convergência quadrática), com constante assintótica .

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