Determine o limite e a taxa de convergência das seguintes sequências.
Para cada sequência a seguir, determine se ela converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
x_{k}=1+\frac{1}{5^{k}}

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a sequência
xk ;=; 1 + 15^k
e precisamos ver se ela converge (ou diverge). Se convergir, achar o limite e também descobrir a “taxa de convergência” (isto é, quão rápido ela chega nesse limite). O conteúdo aqui é limite de sequência e noção de erro/razão de decaimento (sequência geométrica).

Passo 2

Vamos achar o limite. A gente usa o fato de que, quando limktoinfty a^k = 0 ,
limktoinfty 15^k = 0
Aqui limktoinfty xk = limktoinftyl(1 + 15^kr) = 1 + 0 = 1 , que é menor que 1 em valor absoluto. Logo
Então

Passo 3

Agora a taxa de convergência. Primeiro definimos o erro em relação ao limite ek = l|xk - Lr| = l|1 + 15^k - 1r| = 15^k :
ek+1ek = 15^,k+115^k = 15
Como é uma sequência geométrica, o fator de decaimento de um termo pro próximo é
ek = O!l((tfrac15)^kr)
Isso significa que a cada passo o erro cai pra do anterior. Na linguagem de métodos numéricos isso chama-se convergência linear com constante . Em notação assintótica,

Resposta

Limite: .
Taxa de convergência: linear, com fator de decaimento (isto é, ).

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