Determine o limite e a taxa de convergência das seguintes sequências.
Para cada sequência a seguir, determine se ela converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
x_{k}=1+\frac{1}{5^{k}}
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos a sequência
e precisamos ver se ela converge (ou diverge). Se convergir, achar o limite e também descobrir a “taxa de convergência” (isto é, quão rápido ela chega nesse limite). O conteúdo aqui é limite de sequência e noção de erro/razão de decaimento (sequência geométrica).
Passo 2
Vamos achar o limite. A gente usa o fato de que, quando ,
Aqui , que é menor que 1 em valor absoluto. Logo
Então
Passo 3
Agora a taxa de convergência. Primeiro definimos o erro em relação ao limite :
Como é uma sequência geométrica, o fator de decaimento de um termo pro próximo é
ek = O!l((tfrac15)^kr)
Isso significa que a cada passo o erro cai pra do anterior. Na linguagem de métodos numéricos isso chama-se convergência linear com constante . Em notação assintótica,
Resposta
Limite: .
Taxa de convergência: linear, com fator de decaimento (isto é, ).