Determine o maior inteiro n tal que 5^{n} divide 2019!-2018!+2017!

Passo 1

O enunciado pede: determinar o maior inteiro n tal que 5^{n} divide a expressão
2019! - 2018! + 2017!.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Os números factorializados são 2019!, 2018! e 2017!.
  • Quer-se a maior potência de 5 que divide a combinação linear desses fatoriais.

Passo 2

Primeiro passo técnico: fatorar o termo comum 2017! para simplificar a expressão. Explicar direitinho:
  • Por definição, 2019! = 2019\cdot2018\cdot2017! e 2018! = 2018\cdot2017!.
  • Logo a expressão fica
2019! - 2018! + 2017! = 2017!\bigl(2019\cdot2018 - 2018 + 1\bigr).
Agora simplificar o parêntese:
2019\cdot2018 - 2018 + 1 = 2018(2019 - 1) + 1 = 2018^2 + 1.
Portanto a expressão pode ser escrita como
E \;=\; 2017!\,\bigl(2018^2 + 1\bigr).

Passo 3

Agora a ideia geral (explicando o conceito usado): para encontrar a maior potência de 5 que divide um produto, usamos a propriedade da valuation v_5 (ordem de 5):
  • Se A e B são inteiros, então v_5(AB) = v_5(A) + v_5(B).
  • Aqui A=2017! e B=2018^2+1. Logo
v_5(E) = v_5(2017!) + v_5(2018^2 + 1).
Explico o que é v_5(\cdot): é o maior expoente k tal que 5^{k} divide o número dado.
Vou calcular cada termo separadamente.

Passo 4

Cálculo de v_5(2017!) usando a fórmula de Legendre (explicando passo a passo):
  • A fórmula de Legendre diz que para um primo p,
v_p(N!) = \sum_{j=1}^{\infty} \left\lfloor \dfrac{N}{p^{j}} \right\rfloor,
onde os termos eventualmente se tornam zero quando p^{j} > N. Aqui p=5 e N=2017.
Interpretação: conta quantas vezes cada múltiplo de 5, 25, 125, … contribui para os fatores de 5 em 2017!.
Calcular cada termo explicitamente (com contas que dá para fazer à mão):
\left\lfloor \dfrac{2017}{5} \right\rfloor = \left\lfloor 403{,}4 \right\rfloor = 403,
\left\lfloor \dfrac{2017}{25} \right\rfloor = \left\lfloor 80{,}68 \right\rfloor = 80,
\left\lfloor \dfrac{2017}{125} \right\rfloor = \left\lfloor 16{,}136 \right\rfloor = 16,
\left\lfloor \dfrac{2017}{625} \right\rfloor = \left\lfloor 3{,}2272 \right\rfloor = 3,
\left\lfloor \dfrac{2017}{3125} \right\rfloor = 0 \quad\text{(porque \(3125>2017\))}.
Somando:
v_5(2017!) = 403 + 80 + 16 + 3 = 502.
Pequena verificação mental: cada termo corresponde a contar múltiplos de 5, depois múltiplos de 25 (que foram contados duas vezes), etc.

Passo 5

Cálculo de v_5(2018^2 + 1). Vou testar divisibilidade por 5,25,125,\dots explicando como testar:
  • Primeiro reduzir 2018 módulo 5. Como 2015 é múltiplo de 5, 2018 \equiv 3 \pmod{5}.
  • Então
2018^2 + 1 \equiv 3^2 + 1 \equiv 9 + 1 \equiv 10 \equiv 0 \pmod{5}.
Logo é divisível por 5. Agora ver se é divisível por 5^2=25:
  • Reduzir 2018 módulo 25. Como 25\cdot80 = 2000, tem-se 2018 \equiv 18 \pmod{25}.
  • Calcular 18^2 + 1 = 324 + 1 = 325.
  • Observação: 325 = 25 \cdot 13, logo é divisível por 25.
    Agora testar 5^3=125:
  • Reduzir 2018 módulo 125. Como 125\cdot16 = 2000, tem-se 2018 \equiv 18 \pmod{125} (mesmo resto 18).
  • Calcular 18^2 + 1 = 325 novamente e ver 325 \mod 125 = 325 - 2\cdot125 = 75.
  • Como 75 \not\equiv 0 \pmod{125}, a expressão não é divisível por 125.
Portanto 2018^2 + 1 é divisível por 5 e por 25 mas não por 125. Em termos de valuation:
v_5(2018^2 + 1) = 2.

Passo 6

Combinar as duas contribuições usando a propriedade da valuation para produtos:
v_5(E) = v_5(2017!) + v_5(2018^2 + 1) = 502 + 2.
Assim a ordem de 5 na expressão é v_5(E)=502+2.

Resposta

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