Determine o maior inteiro
tal que
divide
Passo 1
O enunciado pede: determinar o maior inteiro
tal que
divide a expressão
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Os números factorializados são
, e . - Quer-se a maior potência de
que divide a combinação linear desses fatoriais.
Passo 2
Primeiro passo técnico: fatorar o termo comum
para simplificar a expressão. Explicar direitinho:
- Por definição,
e . - Logo a expressão fica
Agora simplificar o parêntese:
Portanto a expressão pode ser escrita como
Passo 3
Agora a ideia geral (explicando o conceito usado): para encontrar a maior potência de
que divide um produto, usamos a propriedade da valuation
(ordem de 5):
- Se
e são inteiros, então . - Aqui
e . Logo
Explico o que é
: é o maior expoente
tal que
divide o número dado.
Vou calcular cada termo separadamente.
Passo 4
Cálculo de
usando a fórmula de Legendre (explicando passo a passo):
- A fórmula de Legendre diz que para um primo
,
onde os termos eventualmente se tornam zero quando
. Aqui
e
.
Interpretação: conta quantas vezes cada múltiplo de ,
,
, … contribui para os fatores de
em
.
Interpretação: conta quantas vezes cada múltiplo de
Calcular cada termo explicitamente (com contas que dá para fazer à mão):
Somando:
Pequena verificação mental: cada termo corresponde a contar múltiplos de
, depois múltiplos de
(que foram contados duas vezes), etc.
Passo 5
Cálculo de
. Vou testar divisibilidade por
explicando como testar:
- Primeiro reduzir
módulo . Como é múltiplo de , . - Então
Logo é divisível por
. Agora ver se é divisível por
:
- Reduzir
módulo . Como , tem-se . - Calcular
. - Observação:
, logo é divisível por .
Agora testar: - Reduzir
módulo . Como , tem-se (mesmo resto 18). - Calcular
novamente e ver . - Como
, a expressão não é divisível por .
Portanto
é divisível por
e por
mas não por
. Em termos de valuation:
Passo 6
Combinar as duas contribuições usando a propriedade da valuation para produtos:
Assim a ordem de
na expressão é
.
Resposta
504