Sabendo que o valor da expressāo
pode ser escrito da forma
com a, b e c números inteiros e positivos. Entâo, um dos possiveis valores de
é igual:
A) 840
B) 816
C) 969
D) 1020
E) 1140
A) 840
B) 816
C) 969
D) 1020
E) 1140
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e afirma que esse valor pode ser escrito na forma
com
inteiros positivos. A pergunta pede: um dos possíveis valores de
(há várias representações equivalentes, basta apresentar um valor possível).
Informações importantes extraídas do enunciado:
- Os números
, , são as três raízes reais de um polinômio cúbico com coeficientes racionais (vamos usar isso). - Queremos escrever a soma das suas raízes cúbicas numa forma única de raiz cúbica aninhada e identificar
.
Passo 2
Vamos achar o polinômio cujas raízes são
,
,
.
Seja
. Para
temos
. É conhecido (ou pode ser verificado por relações trigonométricas / polinomiais) que os valores
são raízes do polinômio
são raízes do polinômio
Logo, se
então
satisfaz
. Substituindo
obtemos um polinômio monico (ao dividir por 8) para as
:
Dividindo por
e comparando com a forma monica
, obtemos os somatórios simétricos das raízes
(onde os
são os cossenos):
Passo 3
Defina
e seja
a soma que queremos (ou seja,
é exatamente a expressão do enunciado).
Vamos relacionar
com os simétricos das
. Usamos a identidade cúbica
Aplicando aos
e lembrando que
, e que
, obtemos
Denotando
(o simétrico de grau 2 nas
), isso é
Substituindo
dá
Essa é a primeira equação que liga
e
:
Passo 4
Agora precisamos de uma segunda equação envolvendo
e
. Para isso, observe que os
são exatamente
. Então vamos escrever
em termos de
e do produto
.
Note que
. Se chamarmos
, então
e
. Pela identidade de Newton para três variáveis,
Mas note que
com
. Assim
.
Portanto
Simplificando:
Mas já tínhamos
. Igualando:
Multiplicando por
para eliminar denominadores:
Passo 5
Agora temos o sistema (em
Da primeira equação isolamos
na segunda equação. Para simplificar a álgebra, defina
então
e
. A segunda equação fica (substituindo
e
):
Simplificando termos semelhantes e substituindo
obtemos uma equação apenas em
:
Multiplicando por
e simplificando chegamos à cúbica
Passo 6
Vamos resolver a cúbica para
. Dividindo por
deixa em forma monica:
e fazemos a mudança de variável para eliminar o termo quadrático:
. Substituindo e expandindo (cálculo padrão de depressão de cúbica) obtemos uma forma muito simples:
Logo
Voltando a
:
Passo 7
Lembrando que
, obtemos
Agora note que
. Assim
Ou seja
Comparando com a forma pedida
, vemos que uma escolha natural (a menor, em inteiros positivos) é
Passo 8
Finalmente calculamos
Resposta
78