Sabendo que o valor da expressāo
\sqrt[3]{\cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right)}+\sqrt[3]{\cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)}+\sqrt[3]{\cos \left(\frac{6 \pi}{7}\right)} pode ser escrito da forma \sqrt[3]{\frac{a-3 \sqrt[3]{b}}{c}} com a, b e c números inteiros e positivos. Entâo, um dos possiveis valores de a^{2}+b^{2}+c^{2} é igual:
A) 840
B) 816
C) 969
D) 1020
E) 1140

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\sqrt[3]{\cos\!\left(\frac{2\pi}{7}\right)}+\sqrt[3]{\cos\!\left(\frac{4\pi}{7}\right)}+\sqrt[3]{\cos\!\left(\frac{6\pi}{7}\right)}
e afirma que esse valor pode ser escrito na forma
\sqrt[3]{\frac{a-3\sqrt[3]{b}}{c}}
com a,b,c inteiros positivos. A pergunta pede: um dos possíveis valores de a^{2}+b^{2}+c^{2} (há várias representações equivalentes, basta apresentar um valor possível).
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Os números \cos\!\left(\frac{2\pi}{7}\right), \cos\!\left(\frac{4\pi}{7}\right), \cos\!\left(\frac{6\pi}{7}\right) são as três raízes reais de um polinômio cúbico com coeficientes racionais (vamos usar isso).
  • Queremos escrever a soma das suas raízes cúbicas numa forma única de raiz cúbica aninhada e identificar a,b,c.

Passo 2

Vamos achar o polinômio cujas raízes são \cos\!\left(\frac{2\pi}{7}\right), \cos\!\left(\frac{4\pi}{7}\right), \cos\!\left(\frac{6\pi}{7}\right).
Seja \zeta=e^{2\pi i/7}. Para k=1,2,3 temos 2\cos\!\left(\tfrac{2k\pi}{7}\right)=\zeta^{k}+\zeta^{-k}. É conhecido (ou pode ser verificado por relações trigonométricas / polinomiais) que os valores
\;y_k=2\cos\!\left(\tfrac{2k\pi}{7}\right)\;(k=1,2,3)
são raízes do polinômio
y^{3}+y^{2}-2y-1=0.
Logo, se x=\cos\!\left(\tfrac{2k\pi}{7}\right) então y=2x satisfaz y^{3}+y^{2}-2y-1=0. Substituindo y=2x obtemos um polinômio monico (ao dividir por 8) para as x:
8x^{3}+4x^{2}-4x-1=0.
Dividindo por 8 e comparando com a forma monica x^{3}-S_{1}x^{2}+S_{2}x-S_{3}=0, obtemos os somatórios simétricos das raízes x_{1},x_{2},x_{3} (onde os x_i são os cossenos):
S_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\tfrac{1}{2},\qquad S_{2}=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=-\tfrac{1}{2},\qquad S_{3}=x_{1}x_{2}x_{3}=\tfrac{1}{8}.

Passo 3

Defina
u_{i}=\sqrt[3]{x_{i}}\quad(i=1,2,3),
e seja
p=u_{1}+u_{2}+u_{3}
a soma que queremos (ou seja, p é exatamente a expressão do enunciado).
Vamos relacionar p com os simétricos das x_i. Usamos a identidade cúbica
(u+v+w)^{3}=u^{3}+v^{3}+w^{3}+3(u+v)(v+w)(w+u).
Aplicando aos u_i e lembrando que u_i^{3}=x_i, e que u_{1}u_{2}u_{3}=\sqrt[3]{x_{1}x_{2}x_{3}}=\sqrt[3]{\tfrac{1}{8}}=\tfrac{1}{2}, obtemos
p^{3}=S_{1}+3p\cdot(u_{1}u_{2}+u_{2}u_{3}+u_{3}u_{1})-3\cdot\tfrac{1}{2}.
Denotando q=u_{1}u_{2}+u_{2}u_{3}+u_{3}u_{1} (o simétrico de grau 2 nas u_i), isso é
p^{3}=S_{1}+3p q-\tfrac{3}{2}.
Substituindo S_{1}=-\tfrac{1}{2}
p^{3}=3p q-2.
Essa é a primeira equação que liga p e q:
\boxed{p^{3}-3p q+2=0.}

Passo 4

Agora precisamos de uma segunda equação envolvendo p e q. Para isso, observe que os x_i são exatamente u_{i}^{3}. Então vamos escrever S_{2}=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1} em termos de p,q e do produto u_{1}u_{2}u_{3}=\tfrac{1}{2}.
Note que x_{i}x_{j}=(u_{i}u_{j})^{3}. Se chamarmos A=u_{1}u_{2},\;B=u_{2}u_{3},\;C=u_{3}u_{1}, então A+B+C=q e ABC=(u_{1}u_{2}u_{3})^{2}=(\tfrac{1}{2})^{2}=\tfrac{1}{4}. Pela identidade de Newton para três variáveis,
A^{3}+B^{3}+C^{3}=(A+B+C)^{3}-3(A+B+C)(AB+BC+CA)+3ABC.
Mas note que AB+BC+CA=(u_{1}u_{2})(u_{2}u_{3})+(u_{2}u_{3})(u_{3}u_{1})+(u_{3}u_{1})(u_{1}u_{2})=u_{1}u_{2}u_{3}(u_{1}+u_{2}+u_{3})=e_{3}\,p com e_{3}=u_{1}u_{2}u_{3}=\tfrac{1}{2}. Assim AB+BC+CA=\tfrac{1}{2}p.
Portanto
x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=A^{3}+B^{3}+C^{3}=q^{3}-3\cdot q\cdot\left(\tfrac{1}{2}p\right)+3\cdot\left(\tfrac{1}{4}\right).
Simplificando:
S_{2}=q^{3}-\tfrac{3}{2}p q+\tfrac{3}{4}.
Mas já tínhamos S_{2}=-\tfrac{1}{2}. Igualando:
q^{3}-\tfrac{3}{2}p q+\tfrac{3}{4}=-\tfrac{1}{2}.
Multiplicando por 4 para eliminar denominadores:
\boxed{4q^{3}-6p q+5=0.}

Passo 5

Agora temos o sistema (em p,q\)): \[\begin{cases} p^{3}-3p q+2=0,\\[4pt] 4q^{3}-6p q+5=0. \end{cases}
Da primeira equação isolamos q\]: \[3p q=p^{3}+2\quad\Rightarrow\quad q=\dfrac{p^{3}+2}{3p}\quad(p\neq 0).\] Substituímos esse \(q na segunda equação. Para simplificar a álgebra, defina
t=p^{3}+2,
então q=\dfrac{t}{3p} e p^{3}=t-2. A segunda equação fica (substituindo q^{3}=(t^{3})/(27p^{3}) e p^{3}=t-2):
4\cdot\dfrac{t^{3}}{27p^{3}}-6p\cdot\dfrac{t}{3p}+5=0.
Simplificando termos semelhantes e substituindo p^{3}=t-2 obtemos uma equação apenas em t:
\frac{4t^{3}}{27(t-2)}-2t+5=0.
Multiplicando por 27(t-2) e simplificando chegamos à cúbica
4t^{3}-54t^{2}+243t-270=0.]

Passo 6

Vamos resolver a cúbica para t. Dividindo por 4 deixa em forma monica:
t^{3}-\tfrac{54}{4}t^{2}+\tfrac{243}{4}t-\tfrac{270}{4}=0,
e fazemos a mudança de variável para eliminar o termo quadrático: t=y+\dfrac{54}{12}=y+\dfrac{9}{2}. Substituindo e expandindo (cálculo padrão de depressão de cúbica) obtemos uma forma muito simples:
y^{3}+\frac{189}{8}=0.
Logo
y^{3}=-\frac{189}{8}\quad\Rightarrow\quad y=-\sqrt[3]{\frac{189}{8}}=-\frac{1}{2}\sqrt[3]{189}.
Voltando a t:
t=y+\frac{9}{2}=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{189}=\frac{9-\sqrt[3]{189}}{2}.

Passo 7

Lembrando que t=p^{3}+2, obtemos
p^{3}=t-2=\frac{9-\sqrt[3]{189}}{2}-2=\frac{5-\sqrt[3]{189}}{2}.
Agora note que \sqrt[3]{189}=\sqrt[3]{27\cdot 7}=3\sqrt[3]{7}. Assim
p^{3}=\frac{5-3\sqrt[3]{7}}{2}.
Ou seja
p=\sqrt[3]{\frac{5-3\sqrt[3]{7}}{2}}.
Comparando com a forma pedida \sqrt[3]{\dfrac{a-3\sqrt[3]{b}}{c}}, vemos que uma escolha natural (a menor, em inteiros positivos) é
a=5,\qquad b=7,\qquad c=2.

Passo 8

Finalmente calculamos
a^{2}+b^{2}+c^{2}=5^{2}+7^{2}+2^{2}=25+49+4=78.

Resposta

78

Exercícios relacionados