Determine a maior raiz real de f(x)=2 x^3-11,7 x^2+17 x-5
Pelo método de Newton-Raphson (chute=3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a maior raiz real da função usando o método de Newton-Raphson, começando com um chute inicial de . Para isso, vamos precisar entender como funciona o método de Newton-Raphson, que é uma técnica para aproximar raízes de funções usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do método de Newton-Raphson:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, f'(x) = ddx(2x^3 - 11,7x^2 + 17x - 5) = 6x^2 - 23,4x + 17 é a derivada da função . Então, precisamos calcular a derivada de :

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método passo a passo começando com f(3) = 2(3)^3 - 11,7(3)^2 + 17(3) - 5 = 54 - 105,3 + 51 - 5 = -5,3 .
Primeira Iteração:
  1. Calcular f'(3) = 6(3)^2 - 23,4(3) + 17 = 54 - 70,2 + 17 = 0,8 :
x1 = 3 - -5,30,8 = 3 + 6,625 = 9,625
  1. Calcular f(9,625) = 2(9,625)^3 - 11,7(9,625)^2 + 17(9,625) - 5 approx 2(891,136) - 11,7(92,6406) + 163,125 - 5 approx 1782,272 - 1083,077 + 163,125 - 5 approx 857,32 :
f'(9,625) = 6(9,625)^2 - 23,4(9,625) + 17 approx 6(92,6406) - 225,225 + 17 approx 555,8436 - 225,225 + 17 approx 347,6186
  1. Atualizar x2 = 9,625 - 857,32347,6186 approx 9,625 - 2,467 approx 7,158 :
f(7,158) = 2(7,158)^3 - 11,7(7,158)^2 + 17(7,158) - 5 approx 2(366,869) - 11,7(51,238) + 121,486 - 5 approx 733,738 - 599,386 + 121,486 - 5 approx 250,838
Segunda Iteração:
  1. Calcular f'(7,158) = 6(7,158)^2 - 23,4(7,158) + 17 approx 6(51,238) - 167,613 + 17 approx 307,428 - 167,613 + 17 approx 156,815 :
x3 = 7,158 - 250,838156,815 approx 7,158 - 1,600 approx 5,558
  1. Calcular :
  1. Atualizar :
Terceira Iteração:
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Atualizar :
Podemos continuar iterando até que a diferença entre os valores de seja mínima, mas já estamos chegando perto de uma boa aproximação.

Resposta

A maior raiz real aproximada de é aproximadamente .

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