Determine a maior raiz real de f(x)=2 x^3-11,7 x^2+17 x-5
Pelo método da secante (chutes = 3 e 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a maior raiz real da função usando o método da secante. Esse método é parecido com o da bisseção ou o de Newton, mas ele usa dois pontos iniciais (nesse caso, 3 e 4) para aproximar a raiz. Vamos precisar entender como funciona a fórmula da secante e fazer alguns cálculos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do método da secante:
xn+1 = xn - f(xn) cdot (xn - xn-1)f(xn) - f(xn-1)
Isso quer dizer que, a cada passo, a gente usa os dois últimos valores de e os respectivos para encontrar um novo que está mais perto da raiz.
Vamos começar com e .

Passo 3

Calculando f(3) = 2(3)^3 - 11,7(3)^2 + 17(3) - 5 = 54 - 105,3 + 51 - 5 = -5,3 e f(4) = 2(4)^3 - 11,7(4)^2 + 17(4) - 5 = 128 - 187,2 + 68 - 5 = 3,8 :
x2 = 4 - 3,8 cdot 4 - 33,8 - (-5,3) = 4 - 3,8 cdot 19,1 approx 4 - 0,4187 = 3,5813
Agora, aplicamos a fórmula da secante para encontrar :

Passo 4

Agora, usamos f(3,5813) = 2(3,5813)^3 - 11,7(3,5813)^2 + 17(3,5813) - 5 approx 91,64 - 149,8 + 60,88 - 5 = -2,28 e x3 = 3,5813 - (-2,28) cdot 3,5813 - 4-2,28 - 3,8 = 3,5813 + 2,28 cdot -0,4187-6,08 approx 3,5813 + 0,157 = 3,7383 para calcular :
Aplicamos novamente a fórmula da secante para encontrar :

Passo 5

Repetimos o processo com f(3,7383) = 2(3,7383)^3 - 11,7(3,7383)^2 + 17(3,7383) - 5 approx 104,77 - 163,6 + 63,55 - 5 = -0,28 e x4 = 3,7383 - (-0,28) cdot 3,7383 - 3,5813-0,28 - (-2,28) = 3,7383 + 0,28 cdot 0,1572 approx 3,7383 + 0,022 = 3,7603 :
Calculando :

Passo 6

Continuando com f(3,7603) = 2(3,7603)^3 - 11,7(3,7603)^2 + 17(3,7603) - 5 approx 106,42 - 165,7 + 63,92 - 5 = -0,36 e x5 = 3,7603 - (-0,36) cdot 3,7603 - 3,7383-0,36 - (-0,28) = 3,7603 + 0,36 cdot 0,022-0,08 approx 3,7603 - 0,099 = 3,6613 :
Calculando :

Passo 7

Vamos fazer mais uma iteração para ver a convergência:
f(3,6613) = 2(3,6613)^3 - 11,7(3,6613)^2 + 17(3,6613) - 5 approx 97,14 - 156,9 + 62,14 - 5 = -2,62
Calculando x6 = 3,6613 - (-2,62) cdot 3,6613 - 3,7603-2,62 - (-0,36) = 3,6613 + 2,62 cdot -0,099-2,26 approx 3,6613 + 0,115 = 3,776 :

Resposta

Após algumas iterações usando o método da secante, a maior raiz real da função é aproximadamente 3,776.

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