Determine a maior raiz real da função f dada por
f(x)=2 x^{3}-11,7 x^{2}+17,7 x-5
(b) usando três iterações do método da secante, e valores iniciais $x_{-1}= 3, x_{0}=4.

Passo 1

O enunciado pede a maior raiz real da função
f(x)=2x^{3}-11,7x^{2}+17,7x-5
usando o método da secante com três iterações e pontos iniciais x_{-1}=3 e x_{0}=4. Vamos aplicar a fórmula
x_{k+1}=x_{k}-f(x_{k})\,\frac{x_{k}-x_{k-1}}{f(x_{k})-f(x_{k-1})}
para k=0,1,2.

Passo 2

Calculamos primeiro
f(3)=2\cdot3^{3}-11,7\cdot3^{2}+17,7\cdot3-5=54-105,3+53,1-5=-3,2,
f(4)=2\cdot4^{3}-11,7\cdot4^{2}+17,7\cdot4-5=128-187,2+70,8-5=6,6.

Passo 3

Primeira iteração k=0:
x_{1}=4-6,6\cdot\frac{4-3}{6,6-(-3,2)} =4-\frac{6,6}{9,8}\approx4-0,6735=3,3265.

Passo 4

Avaliação em x_{1}:
f(3,3265)\approx2\,(3,3265)^{3}-11,7\,(3,3265)^{2}+17,7\,(3,3265)-5\approx-2,9816.

Passo 5

Segunda iteração k=1:
x_{2}=3,3265-(-2,9816)\,\frac{3,3265-4}{-2,9816-6,6} =3,3265-\frac{-2,9816\cdot(-0,6735)}{-9,5816}\approx3,5360.

Passo 6

Avaliação em x_{2}:
f(3,5360)\approx2\,(3,5360)^{3}-11,7\,(3,5360)^{2}+17,7\,(3,5360)-5\approx-0,2483.

Passo 7

Terceira iteração k=2:
x_{3}=3,5360-(-0,2483)\,\frac{3,5360-3,3265}{-0,2483-(-2,9816)} =3,5360-\frac{-0,2483\cdot0,2095}{2,7333}\approx3,5550.

Resposta

A maior raiz real aproximada, após três iterações da secante, é
\boxed{x_{3}\approx3,5550.}

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