Determine o coeficiente de arrasto c necessário para que um paraquedista de massa m=68,1 \mathrm{~kg} tenha uma velocidade de 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s} depois de cair em queda livre por t=10 \mathrm{~s}. Considere a aceleração de gravidade g=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. A equação que relaciona essas variáveis é dada por
f\text{(c)}=\frac{g m}{c}\left(1-e^{-\left(\frac{c}{m}\right) t}\right)-v .
Aplique os seguintes métodos com aproximações iniciais x_{1}=12 e x_{2}= 16, e calcule o erro \epsilon_{t} :
(a) O método de bissecção (duas iterações).

Passo 1

O enunciado pede para resolver \,f\text{(c)}=0 onde
f\text{(c)}=\frac{g\,m}{c}\Bigl(1-\exp\bigl(-\tfrac{c}{m}t\bigr)\Bigr)-v
com m=68{,}1, g=9{,}81, t=10, v=40, usando o método da bissecção no intervalo inicial [x_1,x_2]=[12,16], fazendo duas iterações e calculando o erro \epsilon_t. Vamos aplicar passo a passo a definição de bissecção.

Passo 2

Avaliamo-s f nos extremos para confirmar troca de sinal:
f(12)=\frac{9{,}81\cdot68{,}1}{12}\Bigl(1-e^{-12/68{,}1\cdot10}\Bigr)-40\approx6{,}12>0,
f(16)=\frac{9{,}81\cdot68{,}1}{16}\Bigl(1-e^{-16/68{,}1\cdot10}\Bigr)-40\approx-2{,}24<0.
Como f(12)\cdot f(16)<0, há raiz em [12,16].

Passo 3

1ª iteração: ponto médio
c_1=\frac{12+16}{2}=14.
Calculamos
f(14)=\frac{9{,}81\cdot68{,}1}{14}\Bigl(1-e^{-14/68{,}1\cdot10}\Bigr)-40\approx1{,}58>0.
Como f(14)>0 e f(16)<0, a raiz está em [14,16].

Passo 4

2ª iteração: novo ponto médio
c_2=\frac{14+16}{2}=15.
Calculamos
f(15)=\frac{9{,}81\cdot68{,}1}{15}\Bigl(1-e^{-15/68{,}1\cdot10}\Bigr)-40\approx-0{,}40<0.
Agora f(14)>0 e f(15)<0, logo a raiz está em [14,15].
O erro relativo aproximado após a 2ª iteração é
\epsilon_t=\Bigl|\tfrac{c_2-c_1}{c_2}\Bigr| =\frac{|15-14|}{15}\approx0{,}0667\;(6{,}67\%).

Resposta

Após duas iterações pelo método da bissecção, obtemos
c\approx15 e \epsilon_t\approx0{,}0667 (6,67 %).

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