Determine a matriz inversa utilizando o Método de Gauss-Jordan.
A=[ccc 4 & -1 & 1 2 & 5 & 2 1 & 2 & 4 ]

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a matriz inversa de
A = 4 & -1 & 1 2 & 5 & 2 1 & 2 & 4
usando o Método de Gauss–Jordan. Isso é Álgebra Linear, tema “matrizes e operações elementares”. A ideia é montar a matriz aumentada , aplicar operações de linha (troca, multiplicação por escalar, soma de linhas) até chegar em .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada [ccc|ccc 4 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 2 & 5 & 2 & 0 & 1 & 0 1 & 2 & 4 & 0 & 0 & 1 ] :
Aqui, a coluna da esquerda é a e a da direita é a identidade . Nosso objetivo é, por operações de linha, transformar a parte esquerda em .

Passo 3

Vamos usar o elemento R1 14R1 Longrightarrow [ccc|ccc 1 & -tfrac14 & tfrac14 & tfrac14 & 0 & 0 2 & 5 & 2 & 0 & 1 & 0 1 & 2 & 4 & 0 & 0 & 1 ] (posição ) como pivô e normalizar a primeira linha dividindo por 4:
Teoria rápida: normalizar a linha faz o pivô virar 1, facilitando zerar os outros elementos na coluna.

Passo 4

Agora a gente zera tudo embaixo do pivô (coluna 1):
  • [ccc|ccc 1 & -tfrac14 & tfrac14 & tfrac14 & 0 & 0 0 & tfrac112 & tfrac32 & -tfrac12 & 1 & 0 0 & tfrac94 & tfrac154 & -tfrac14 & 0 & 1 ]
Fica:

Passo 5

Agora o pivô é o elemento R2 211R2 Longrightarrow [ccc|ccc 1 & -tfrac14 & tfrac14 & tfrac14 & 0 & 0 0 & 1 & tfrac311 & -tfrac111 & tfrac211 & 0 0 & tfrac94 & tfrac154 & -tfrac14 & 0 & 1 ] em . Normaliza :
Explicação: pivô 1 ajuda a limpar a coluna 2 com mais facilidade.

Passo 6

Zera acima e abaixo do pivô da 2ª coluna:
  • [ccc|ccc 1 & 0 & tfrac722 & tfrac522 & tfrac122 & 0 0 & 1 & tfrac311 & -tfrac111 & tfrac211 & 0 0 & 0 & tfrac6922 & -tfrac122 & -tfrac922 & 1 ] (pra zerar )
Resultado:

Passo 7

O pivô da 3ª linha é R3 2269,R3 Longrightarrow [ccc|ccc 1 & 0 & tfrac722 & tfrac522 & tfrac122 & 0 0 & 1 & tfrac311 & -tfrac111 & tfrac211 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac169 & -tfrac323 & tfrac2269 ] . Normaliza :

Passo 8

Finalmente, zera acima do pivô 1 na coluna 3:
  • [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & tfrac1669 & tfrac223 & -tfrac769 0 & 1 & 0 & -tfrac223 & tfrac523 & -tfrac223 0 & 0 & 1 & -tfrac169 & -tfrac323 & tfrac2269 ]
E chegamos em

Resposta

A matriz inversa é
A^-1 ;=; 1669 & 223 & -769[6pt] -223 & 523 & -223[6pt] -169 & -323 & 2269

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