Determine a matriz inversa utilizando o Método de Gauss-Jordan.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar a matriz inversa de
usando o Método de Gauss–Jordan. Isso é Álgebra Linear, tema “matrizes e operações elementares”. A ideia é montar a matriz aumentada
, aplicar operações de linha (troca, multiplicação por escalar, soma de linhas) até chegar em
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a matriz aumentada
[ccc|ccc 4 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 2 & 5 & 2 & 0 & 1 & 0 1 & 2 & 4 & 0 & 0 & 1 ] :
Aqui, a coluna da esquerda é a
e a da direita é a identidade
. Nosso objetivo é, por operações de linha, transformar a parte esquerda em
.
Passo 3
Vamos usar o elemento
R1 14R1 Longrightarrow [ccc|ccc 1 & -tfrac14 & tfrac14 & tfrac14 & 0 & 0 2 & 5 & 2 & 0 & 1 & 0 1 & 2 & 4 & 0 & 0 & 1 ] (posição
) como pivô e normalizar a primeira linha dividindo por 4:
Teoria rápida: normalizar a linha faz o pivô virar 1, facilitando zerar os outros elementos na coluna.
Passo 4
Agora a gente zera tudo embaixo do pivô (coluna 1):
-
[ccc|ccc 1 & -tfrac14 & tfrac14 & tfrac14 & 0 & 0 0 & tfrac112 & tfrac32 & -tfrac12 & 1 & 0 0 & tfrac94 & tfrac154 & -tfrac14 & 0 & 1 ] -
Fica:
Passo 5
Agora o pivô é o elemento
R2 211R2 Longrightarrow [ccc|ccc 1 & -tfrac14 & tfrac14 & tfrac14 & 0 & 0 0 & 1 & tfrac311 & -tfrac111 & tfrac211 & 0 0 & tfrac94 & tfrac154 & -tfrac14 & 0 & 1 ] em
. Normaliza
:
Explicação: pivô 1 ajuda a limpar a coluna 2 com mais facilidade.
Passo 6
Zera acima e abaixo do pivô da 2ª coluna:
-
(pra zerar[ccc|ccc 1 & 0 & tfrac722 & tfrac522 & tfrac122 & 0 0 & 1 & tfrac311 & -tfrac111 & tfrac211 & 0 0 & 0 & tfrac6922 & -tfrac122 & -tfrac922 & 1 ] ) -
Resultado:
Passo 7
O pivô da 3ª linha é
R3 2269,R3 Longrightarrow [ccc|ccc 1 & 0 & tfrac722 & tfrac522 & tfrac122 & 0 0 & 1 & tfrac311 & -tfrac111 & tfrac211 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac169 & -tfrac323 & tfrac2269 ] . Normaliza
:
Passo 8
Finalmente, zera acima do pivô 1 na coluna 3:
-
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & tfrac1669 & tfrac223 & -tfrac769 0 & 1 & 0 & -tfrac223 & tfrac523 & -tfrac223 0 & 0 & 1 & -tfrac169 & -tfrac323 & tfrac2269 ] -
E chegamos em
Resposta
A matriz inversa é