Verifique se o sistema possui solução única, infinita ou é inconsistente usando Gauss-Jordan:
l x+2 y+3 z=6 2 x+4 y+6 z=12 3 x+6 y+9 z=18

Passo 1

Beleza, o exercício é este sistema de 3 equações e 3 incógnitas:
O conteúdo aqui é “sistemas lineares” e a técnica de Gauss-Jordan (eliminação de variáveis via operação em matriz aumentada). A ideia é montar a matriz aumentada, usar operações elementares para zerar tudo abaixo e acima dos pivôs e ver se sobra linha contraditória (inconsistente), pivôs para todas as colunas (solução única) ou variáveis livres (infinitas soluções).

Passo 2

Vamos escrever a matriz aumentada do sistema. Cada linha representa uma equação, cada coluna uma variável, e a última coluna é o termo independente:
[ ccc|c 1 & 2 & 3 & 6 2 & 4 & 6 & 12 3 & 6 & 9 & 18 ]
O plano é usar operações (somar linhas, multiplicar por constante) pra chegar na forma reduzida de Gauss-Jordan.

Passo 3

  1. Escolhemos como pivô (primeiro “1” que aparece) o elemento da linha 1, coluna 1, que já é 1.
  2. Queremos zerar o 2 (linha 2, coluna 1) e o 3 (linha 3, coluna 1). Fazemos:
  • L2 ← L2 − 2·L1
  • L3 ← L3 − 3·L1
Aplicando:
L2: (2,4,6|12) − 2·(1,2,3|6) = (0,0,0|0)
L3: (3,6,9|18) − 3·(1,2,3|6) = (0,0,0|0)
Agora a matriz fica
[ ccc|c 1 & 2 & 3 & 6 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ]
Não sobrou nada pra zerar em cima do pivô 1, porque as outras linhas são todas zero.

Passo 4

Interpretando o resultado:
  • Só temos um pivô (na coluna de ),
  • As colunas de e não viraram pivôs, viraram “variáveis livres”.
  • Não apareceu linha contraditória como com .
Isso significa que o sistema não é inconsistente (não é sem solução), mas também não tem solução única (faltam pivôs). Logo, ele tem infinitas soluções, parametrizadas pelas variáveis livres.

Resposta

O sistema tem infinitas soluções.
Podemos tomar x = 6 - 2s - 3t e l(x,y,z) = (6 - 2s - 3t,;s,;t)mid s,tinRr (parâmetros quaisquer) e, da primeira equação , achar
Assim, o conjunto de soluções é

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