Determine a solução do sistema pelo método de Gauss-Jordan:
l 2 x+y+2 z=4 4 x-6 y+3 z=5 3 x+y+z=7

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra resolver o sistema
2x + y + 2z = 4, 4x - 6y + 3z = 5, 3x + y + z = 7
usando o método de Gauss-Jordan. Isso significa montar a matriz aumentada, aplicar operações de linha (trocar, multiplicar linha por escalar, somar múltiplos de uma linha em outra) até chegar na forma reduzida (ou seja, identidade à esquerda). Vamos precisar conhecer as operações elementares de linha e saber como escolher pivôs para zerar tudo acima e abaixo de cada pivô.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e já deixamos o primeiro pivô valendo 1, dividindo a linha 1 por 2:
[ccc|c 2 & 1 & 2 & 4 4 & -6 & 3 & 5 3 & 1 & 1 & 7 ] ;xrightarrowL1to tfrac12L1; [ccc|c 1 & tfrac12 & 1 & 2 4 & -6 & 3 & 5 3 & 1 & 1 & 7 ]
Aqui usamos a operação elementar “multiplicar a linha 1 por ”.

Passo 3

Zeramos as entradas abaixo do pivô da coluna 1:
  • [ccc|c 1 & tfrac12 & 1 & 2 0 & -8 & -1 & -3 0 & -tfrac12 & -2 & 1 ]
Agora só a primeira coluna tem pivô 1 em cima e zeros abaixo.

Passo 4

Transformamos o segundo pivô em 1 dividindo a linha 2 por L2 to -tfrac18,L2 Longrightarrow [ccc|c 1 & tfrac12 & 1 & 2 0 & 1 & tfrac18 & tfrac38 0 & -tfrac12 & -2 & 1 ] :

Passo 5

Com o pivô 2 em 1, zeramos acima e abaixo dele:
  • [ccc|c 1 & 0 & 0,9375 & 1,8125 0 & 1 & 0,125 & 0,375 0 & 0 & -1,9375 & 1,1875 ]
Aí a terceira coluna na linha 3 ainda não é 1, mas só nela que há valor diferente de zero.

Passo 6

Transformamos o último pivô em 1 dividindo a linha 3 por L3 to 1-1,9375,L3 ;Longrightarrow; [ccc|c 1 & 0 & 0,9375 & 1,8125 0 & 1 & 0,125 & 0,375 0 & 0 & 1 & -tfrac1931 ] (que é ), e depois zeramos acima:
Agora:
Isso leva à forma reduzida com identidade à esquerda.

Resposta

x = 7431, y = 1431, z = -1931

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