Utilize o método de eliminação sem e com pivoteamento parcial para resolver o seguinte sistema:
l x1-x2+x3=1 2 x1+3 x2-x3=8 -3 x1+4 x2+x3=4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas ( x1, x2, x3) e precisamos resolvê-lo usando o método de eliminação. Vamos fazer isso de duas formas: sem pivoteamento e com pivoteamento parcial. Para isso, vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez, facilitando a resolução.

Passo 2

Vamos começar colocando o sistema de equações em forma de matriz aumentada:
1 & -1 & 1 & | & 1 2 & 3 & -1 & | & 8 -3 & 4 & 1 & | & 4
Aqui, os números antes da barra representam os coeficientes das variáveis, e os números depois são os termos constantes.

Passo 3

Eliminação sem pivoteamento:
O objetivo é eliminar o x1 das equações 2 e 3 usando a equação 1.
  • Eliminando x1 da equação 2:
Multiplicamos a equação 1 por 2 e subtraímos da equação 2.
2 times (1x1 - 1x2 + 1x3 = 1) Rightarrow 2x1 - 2x2 + 2x3 = 2
Subtraindo da equação 2:
(2x1 + 3x2 - x3 = 8) - (2x1 - 2x2 + 2x3 = 2) Rightarrow 0x1 + 5x2 - 3x3 = 6
  • Eliminando x1 da equação 3:
Multiplicamos a equação 1 por -3 e somamos à equação 3.
-3 times (1x1 - 1x2 + 1x3 = 1) Rightarrow -3x1 + 3x2 - 3x3 = -3
Somando à equação 3:
(-3x1 + 4x2 + 1x3 = 4) + (-3x1 + 3x2 - 3x3 = -3) Rightarrow 0x1 + 7x2 - 2x3 = 1
Agora, nosso sistema está assim:
x1-x2+x3=1 5x2-3x3=6 7x2-2x3=1

Passo 4

Agora, vamos eliminar x2 entre as equações 2 e 3 do novo sistema.
Multiplicamos a equação 2 por 7 e a equação 3 por 5 para igualar os coeficientes de x2:
7 times (5x2 - 3x3 = 6) Rightarrow 35x2 - 21x3 = 42
5 times (7x2 - 2x3 = 1) Rightarrow 35x2 - 10x3 = 5
Subtraindo as duas novas equações:
(35x2 - 21x3 = 42) - (35x2 - 10x3 = 5) Rightarrow 0x2 - 11x3 = 37
Então, temos:
-11x3 = 37 Rightarrow x3 = -3711

Passo 5

Com o valor de x3, vamos voltar para a equação 2 do sistema reduzido para encontrar x2:
5x2 - 3(-3711) = 6
Resolvendo:
5x2 + 11111 = 6 Rightarrow 5x2 + 10.09 = 6
5x2 = 6 - 10.09 Rightarrow 5x2 = -4.09 Rightarrow x2 = -4.095 approx -0.818

Passo 6

Finalmente, usamos os valores de x2 e x3 na primeira equação para encontrar x1:
x1 - (-0.818) + (-3711) = 1
Resolvendo:
x1 + 0.818 - 3.364 = 1
x1 - 2.546 = 1 Rightarrow x1 = 1 + 2.546 = 3.546

Resposta

A solução do sistema sem pivoteamento é aproximadamente:
x1 approx 3.546, x2 approx -0.818, x3 approx -3.364

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