Determine a matriz inversa utilizando o Método de Gauss-Jordan.
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para encontrar a matriz inversa de
usando o Método de Gauss–Jordan. Isso faz parte de Matrizes Inversas e Eliminação de Gauss. Para resolver, a gente vai precisar:
- Montar a matriz aumentada
.[Amid I] - Saber fazer operações elementares de linha (somar múltiplos de linhas, trocar linhas, escalar linhas).
- Entender o conceito de pivô (o elemento que a gente usa para “zerar” outras entradas na mesma coluna).
Passo 2
Primeiro, monta a matriz aumentada
l[Amid Ir] assim:
A ideia é, via operações de linha, transformar a parte esquerda em
I3 , e aí a parte direita vira
A^-1 .
Passo 3
Zerar abaixo do pivô da 1ª coluna (que já é
1 na linha 1):
- R2 ← R2 − R1
- R3 ← R3 − 2·R1
Isso dá:
Passo 4
Agora vamos tratar a 2ª coluna. Primeiro, transformamos o pivô (−10 na R2) em 1:
Em seguida, zeramos na mesma coluna:
- R1 ← R1 − 2·R2
- R3 ← R3 + 3·R2
Fica:
Passo 5
Por fim, a 3ª coluna. Primeiro, pivô em R3 vira 1 dividindo por
-tfrac165 :
Depois, zeramos acima de R3:
- R1 ← R1 −
·R3tfrac145 - R2 ← R2 +
·R3tfrac25
E obtemos finalmente:
Resposta
A inversa de
A é