Determine a matriz inversa utilizando o Método de Gauss-Jordan.
A=[ccc 1 & 2 & 2 1 & -8 & 6 2 & 1 & 2 ]

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para encontrar a matriz inversa de
A= 1 & 2 & 2 1 & -8 & 6 2 & 1 & 2
usando o Método de Gauss–Jordan. Isso faz parte de Matrizes Inversas e Eliminação de Gauss. Para resolver, a gente vai precisar:
  • Montar a matriz aumentada [Amid I].
  • Saber fazer operações elementares de linha (somar múltiplos de linhas, trocar linhas, escalar linhas).
  • Entender o conceito de pivô (o elemento que a gente usa para “zerar” outras entradas na mesma coluna).

Passo 2

Primeiro, monta a matriz aumentada l[Amid Ir] assim:
[ccc|ccc 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 1 & -8 & 6 & 0 & 1 & 0 2 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 ]
A ideia é, via operações de linha, transformar a parte esquerda em I3, e aí a parte direita vira A^-1.

Passo 3

Zerar abaixo do pivô da 1ª coluna (que já é 1 na linha 1):
  1. R2 ← R2 − R1
  2. R3 ← R3 − 2·R1
Isso dá:
[ccc|ccc 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 0 & -10 & 4 & -1 & 1 & 0 0 & -3 & -2 & -2 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora vamos tratar a 2ª coluna. Primeiro, transformamos o pivô (−10 na R2) em 1:
R2 tfrac1-10,R2 Longrightarrow [ccc|ccc 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -tfrac25 & tfrac110 & -tfrac110 & 0 0 & -3 & -2 & -2 & 0 & 1 ]
Em seguida, zeramos na mesma coluna:
  • R1 ← R1 − 2·R2
  • R3 ← R3 + 3·R2
Fica:
[ccc|ccc 1 & 0 & tfrac145 & tfrac45 & tfrac15 & 0 0 & 1 & -tfrac25 & tfrac110 & -tfrac110 & 0 0 & 0 & -tfrac165 & -tfrac1710 & -tfrac310 & 1 ]

Passo 5

Por fim, a 3ª coluna. Primeiro, pivô em R3 vira 1 dividindo por -tfrac165:
R3 -tfrac516,R3 Longrightarrow [ccc|ccc 1 & 0 & tfrac145 & tfrac45 & tfrac15 & 0 0 & 1 & -tfrac25 & tfrac110 & -tfrac110 & 0 0 & 0 & 1 & tfrac1732 & tfrac332 & -tfrac516 ]
Depois, zeramos acima de R3:
  • R1 ← R1 − tfrac145·R3
  • R2 ← R2 + tfrac25·R3
E obtemos finalmente:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -tfrac1116 & -tfrac116 & tfrac78 0 & 1 & 0 & tfrac516 & -tfrac116 & -tfrac18 0 & 0 & 1 & tfrac1732 & tfrac332 & -tfrac516 ]

Resposta

A inversa de A é
A^-1 = -tfrac1116 & -tfrac116 & tfrac78[6pt] tfrac516 & -tfrac116 & -tfrac18[6pt] tfrac1732 & tfrac332 & -tfrac516

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