Utilize o método da bisseção para encontrar uma raiz aproximada da função, f(x)=x ln (x)-3.2 no intervalo [1,4].
a) Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de 10^-3.
b) Execute o método até 5 iterações. Considere arredondamento padrão e 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é usar o método da bisseção pra achar uma raiz de
f(x)=xln(x)-3.2
no intervalo b-a2^n<=varepsilon .
Conteúdo: método da bisseção (que se baseia no Teorema do Valor Intermediário) e cálculo de número mínimo de iterações para uma tolerância dada.
O que vamos precisar:
  1. Fórmula de número de iterações do método, que vem da estimativa de erro
  1. Executar iterativamente calculando ponto médio, avaliando e escolhendo o subintervalo //tudo// com arredondamento padrão em 4 casas decimais.

Passo 2

(a) Determinar número de iterações para tolerância 32^n<=10^-3 .
  • A largura inicial é 2^n>=310^-3=3000 Longrightarrow n>=log2(3000) .
  • A estimativa de erro após iterações é
  • Isolando :
  • Calculando .
  • Como tem que ser inteiro e maior ou igual, .

Passo 3

(b) Executar 5 iterações do método, arredondando tudo a 4 casas:
Definimos no início
a₁=1.0000, b₁=4.0000
f(a₁)=1·ln(1)−3.2=−3.2000
f(b₁)=4·ln(4)−3.2≈+2.3452
Iteração 1:
c₁=(1.0000+4.0000)/2=2.5000
f(c₁)=2.5·ln(2.5)−3.2≈−0.9093
Como f(a₁)·f(c₁)>0 (ambas negativas), novo intervalo é [c₁,b₁]=[2.5000,4.0000]
Iteração 2:
a₂=2.5000, b₂=4.0000
c₂=(2.5000+4.0000)/2=3.2500
f(c₂)=3.25·ln(3.25)−3.2≈+0.6306
f(a₂)·f(c₂)<0 ⇒ intervalo [2.5000,3.2500]
Iteração 3:
a₃=2.5000, b₃=3.2500
c₃=2.8750
f(c₃)=2.875·ln(2.875)−3.2≈−0.1647
f(a₃)·f(c₃)>0 ⇒ intervalo [2.8750,3.2500]
Iteração 4:
a₄=2.8750, b₄=3.2500
c₄=3.0625
f(c₄)=3.0625·ln(3.0625)−3.2≈+0.2272
f(a₄)·f(c₄)<0 ⇒ intervalo [2.8750,3.0625]
Iteração 5:
a₅=2.8750, b₅=3.0625
c₅=2.9688 (=(2.8750+3.0625)/2 )
f(c₅)=2.9688·ln(2.9688)−3.2≈+0.0313
f(a₅)·f(c₅)<0 ⇒ intervalo [2.8750,2.9688]

Resposta

a) Para c5=2.9688, precisamos de iterações.
b) Após 5 iterações, o ponto médio é
com intervalo final e .

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