Determine a matriz inversa utilizando o Método de Gauss-Jordan.
A=[ccc 4 & 1 & 2 2 & 4 & -1 1 & 1 & -3 ]

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra achar a matriz inversa de
A= 4 & 1 & 2 2 & 4 & -1 1 & 1 & -3
usando o Método de Gauss–Jordan.
Conteúdo: álgebra linear, invertendo matrizes por eliminação de Gauss–Jordan.
O que vamos precisar: montar a matriz aumentada [Amid I], fazer operações de linha (troca, múltiplo e soma) até deixar a parte esquerda igual à identidade I3. Aí o que sobrar à direita é A^-1.

Passo 2

Primeiro escrevemos a matriz aumentada:
l[Amid Ir]= [ccc|ccc 4 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 2 & 4 & -1 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & -3 & 0 & 0 & 1 ]
Agora a ideia é, passo a passo, criar “1”s na diagonal principal (pivôs) e zerar todas as outras entradas na coluna desses pivôs.

Passo 3

  1. Tornar o primeiro pivô igual a 1 dividindo a primeira linha por 4:
R1>=ts tfrac14R1Longrightarrow [ccc|ccc 1 & tfrac14 & tfrac12 & tfrac14 & 0 & 0 2 & 4 & -1 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & -3 & 0 & 0 & 1 ]
  1. Zerar abaixo do pivô (coluna 1):
  • R2>=ts R2-2R1
  • R3>=ts R3-1R1
    fica
[ccc|ccc 1 & tfrac14 & tfrac12 & tfrac14 & 0 & 0 0 & tfrac72 & -2 & -tfrac12 & 1 & 0 0 & tfrac34 & -tfrac72 & -tfrac14 & 0 & 1 ]

Passo 4

  1. Segundo pivô: dividir a linha 2 por tfrac72 para ter 1 na posição (2,2), depois zerar acima e abaixo:
R2>=ts tfrac27R2 Rightarrow [ccc|ccc 1 & tfrac14 & tfrac12 & tfrac14 & 0 & 0 0 & 1 & -tfrac47 & -tfrac17 & tfrac27 & 0 0 & tfrac34 & -tfrac72 & -tfrac14 & 0 & 1 ],
depois
  • R1>=ts R1-tfrac14R2
  • R3>=ts R3-tfrac34R2
    e obtemos
[ccc|ccc 1 & 0 & tfrac914 & tfrac27 & -tfrac114 & 0 0 & 1 & -tfrac47 & -tfrac17 & tfrac27 & 0 0 & 0 & -tfrac4314 & -tfrac17 & -tfrac314 & 1 ]
  1. Terceiro pivô: dividir a linha 3 por -tfrac4314, depois zerar acima:
R3>=ts -tfrac1443R3Longrightarrow [ccc|ccc 1 & 0 & tfrac914 & tfrac27 & -tfrac114 & 0 0 & 1 & -tfrac47 & -tfrac17 & tfrac27 & 0 0 & 0 & 1 & tfrac243 & tfrac343 & -tfrac1443 ]
Agora só falta zerar os outros dois na coluna 3:
  • R1>=ts R1-tfrac914R3
  • R2>=ts R2+tfrac47R3
    resultando em
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & tfrac1143 & -tfrac543 & tfrac943 0 & 1 & 0 & -tfrac543 & tfrac1443 & -tfrac843 0 & 0 & 1 & tfrac243 & tfrac343 & -tfrac1443 ]

Resposta

A parte esquerda virou a identidade e a direita é a inversa. Logo,
boxedA^-1= tfrac1143 & -tfrac543 & tfrac943 -tfrac543 & tfrac1443 & -tfrac843 tfrac243 & tfrac343 & -tfrac1443

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