Utilize o método de eliminação sem e com pivoteamento parcial para resolver o seguinte sistema:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação, tanto sem pivoteamento parcial quanto com ele. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre resolução de sistemas lineares usando eliminação de Gauss. Vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez e chegar nas soluções das incógnitas $ x_1 $, $ x_2 $ e $ x_3 $.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
Passo 3
Vamos começar a eliminação sem pivoteamento parcial. A ideia aqui é manipular as equações para eliminar uma variável por vez. Vamos eliminar $ x_1 $ das segunda e terceira equações usando a primeira equação.
Passo 4
Primeiro, vamos usar a primeira equação para eliminar $ x_1 $ da segunda equação. Multiplicamos a primeira equação por $ \frac{2}{3} $ e subtraímos da segunda:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos eliminar $ x_1 $ da terceira equação usando a primeira equação. Multiplicamos a primeira equação por 1 e subtraímos da terceira:
Simplificando:
Passo 6
Agora temos um novo sistema com duas equações e duas incógnitas:
Para facilitar, multiplicamos a primeira equação por 3 para eliminar as frações:
Passo 7
Temos agora:
Vamos resolver a primeira equação para $ x_2 $ em termos de $ x_3 $:
Passo 8
Agora, substituímos $ x_{2} $ na segunda equação:
Multiplicando todos os termos por 8 para eliminar o denominador:
Simplificando:
Passo 9
Isolando $ x_{1} $:
Passo 10
Agora, precisamos de mais uma equação para determinar $ x_{3} $. Voltando à primeira equação original:
Substituindo $ x_{1} $ e $ x_{2} $:
Multiplicando todos os termos por 16 para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Resposta
As soluções do sistema são:
Portanto, $ x_{1} = 9,8 $, $ x_{2} = -4 $ e $ x_{3} = -8,2 $.