Use o método de Gauss-Jordan para encontrar a solução do sistema:
l x+2 y-z=4 2 x-y+3 z=-1 3 x+y+2 z=5

Passo 1

Beleza, amigo! A questão pede pra gente resolver o sistema
x + 2y - z = 4, 2x - y + 3z = -1, 3x + y + 2z = 5
usando o método de Gauss–Jordan. Isso faz parte de Álgebra Linear e, basicamente, a gente vai montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações de linha (somar linhas, multiplicar por escalares, etc.) até chegar na forma reduzida, de modo a ler logo de cara as soluções ,– ou perceber se não tem solução.

Passo 2

Primeiro, escreve a matriz aumentada:
[ccc|c 1 & 2 & -1 & 4 2 & -1 & 3 & -1 3 & 1 & 2 & 5 ]
No método de Gauss–Jordan, a ideia é:
  1. transformar cada pivô (o primeiro elemento não nulo de cada linha) em 1;
  2. zerar TODOS os outros elementos dessa coluna (acima e abaixo desse pivô).
    Se tudo der certo, sobra a matriz identidade à esquerda e ali lê-se x,y,z. Se aparecer uma linha do tipo [0;0;0mid k] com kneq0, deu ruim: o sistema não tem solução.

Passo 3

Vamos eliminar tudo abaixo do pivô da 1ª linha (que já é 1).
  • R₂ ← R₂ − 2·R₁
  • R₃ ← R₃ − 3·R₁
Fazendo as contas:
R₂: (2,-1,3mid -1) - 2,(1,2,-1mid4) = (0,-5,5mid -9)
R₃: (3,1,2mid5) - 3,(1,2,-1mid4) = (0,-5,5mid -7)
Agora a matriz é
[ccc|c 1 & 2 & -1 & 4 0 & -5 & 5 & -9 0 & -5 & 5 & -7 ]

Passo 4

O pivô da 2ª linha está na coluna 2 e vale -5. Vamos transformá-lo em 1, dividindo R₂ por -5:
R₂ 1-5R₂ = (0,1,-1mid 9/5)
Agora a matriz é
[ccc|c 1 & 2 & -1 & 4 0 & 1 & -1 & 9/5 0 & -5& 5 & -7 ]
Em seguida, zeramos a coluna 2 em R₁ e R₃:
  • R₁ ← R₁ − 2·R₂
  • R₃ ← R₃ + 5·R₂
R₁: (1,2,-1mid4) -2,(0,1,-1mid9/5) = (1,0,1mid 4 -18/5) = (1,0,1mid 2/5)
R₃: (0,-5,5mid -7) +5,(0,1,-1mid9/5) = (0,0,0mid -7 +9) = (0,0,0mid2)
Ficamos com
[ccc|c 1 & 0 & 1 & 2/5 0 & 1 & -1 & 9/5 0 & 0 & 0 & 2 ]

Passo 5

Repara a 3ª linha:
0x + 0y + 0z = 2
Isso é absurdo, porque não existe número z que satisfaça 0 = 2. Quando aparecer esse tipo de linha ( [0,0,0mid k] com kneq0), o sistema é inconsistente, ou seja, não tem solução.

Resposta

O sistema é incompatível e, portanto, não possui solução.

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