Determine a matriz L tal que A=L L^T para:
A=[lll 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 ]

Passo 1

O exercício pede pra gente achar uma matriz A = L,L^T, (lower triangular) que satisfaz
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3
onde
Isso é o que a gente chama de fatoração de Cholesky. Vamos ver a teoria rapidinho: toda matriz simétrica e definida positiva (como essa ) pode ser escrita como , onde é triangular inferior com entradas positivas na diagonal.
Pra resolver, vamos:
  1. listar as incógnitas em ,
  2. multiplicar ,
  3. igualar termo a termo a ,
  4. achar cada valor.

Passo 2

Escreve L = ell11 & 0 & 0 ell21 & ell22 & 0 ell31 & ell32 & ell33 genérico triangular inferior 3×3:
L,L^T = ell11^2 & ell11ell21 & ell11ell31[6pt] ell11ell21 & ell21^2 + ell22^2 & ell21ell31 + ell22ell32[6pt] ell11ell31 & ell21ell31 + ell22ell32 & ell31^2 + ell32^2 + ell33^2
Agora calcula . O produto dá:
Comparando com , a gente faz sistema:
  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .

Passo 3

Vamos resolver passo a passo:
  1. Da equação , escolhemos (diagonal tem que ser positivo).
  2. Da equação , vem .
  3. Da equação , vem .
  4. Agora .
  5. Em .
  6. Por fim .

Resposta

L = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 ,
que de fato satisfaz .

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