Verifique se a matriz é simétrica definida positiva e encontre sua fatoração de Cholesky:
A=[ccc 25 & 15 & -5 15 & 18 & 0 -5 & 0 & 11 ]

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente ver se a matriz
A = 25 & 15 & -5 [6pt] 15 & 18 & 0 [6pt] -5 & 0 & 11
é simétrica definida positiva e, se for, achar a fatoração de Cholesky. O conteúdo aqui é Álgebra Linear (positividade de matrizes e decomposição de Cholesky). Vamos precisar:
  1. Checar simetria;
  2. Verificar se ela é definida positiva (pelos menores principais ou pelo critério de Sylvester);
  3. Fazer a fatoração , onde é triangular inferior com diagonal positiva.

Passo 2

Primeiro, simetria. Uma matriz é simétrica se . Aqui os elementos fora da diagonal são:
  • No lugar (1,2) tem 15 e em (2,1) também é 15;
  • Em (1,3) tem e em (3,1) é ;
  • Em (2,3) tem 0 e em (3,2) tem 0.
    Ou seja, bate direitinho. Logo, é simétrica.

Passo 3

Agora, definida positiva. O critério mais simples é checar os menores principais (Sylvester):
  1. 25 & 1515 & 18.
  2. det(A) = 25,(18cdot11 - 0cdot0) ;-;15,(15cdot11 - 0cdot(-5));-;5,(15cdot0 - 18cdot(-5)) .
  3. =25cdot198 -15cdot165 -5cdot(0 +90) = 4950 -2475 -450 = 2025 > 0 . Calculando rápido:
Todos positivos, então é definida positiva.

Passo 4

Bora fazer a Cholesky. A ideia é escrever
A = L,L^T, L = ell11 & 0 & 0 ell21 & ell22 & 0 ell31 & ell32 & ell33 , ellii>0
As fórmulas são:
ell11 = raiza11, elli1 = ai1ell11,
ell22 = raiza22 - ell21^2, ell32 = a32 - ell31,ell21ell22,
ell33 = raiza33 - ell31^2 - ell32^2
Calculemos passo a passo:

Resposta

A matriz A = L,L^T, L = 5 & 0 & 0 3 & 3 & 0 -1 & 1 & 3 é simétrica definida positiva.
Sua fatoração de Cholesky é

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