Utilize o método de eliminação sem e com pivoteamento parcial para resolver o seguinte sistema
:
Passo 1
Beleza, a gente quer resolver esse sistema 4×4
usando eliminação de Gauss sem pivoteamento e com pivoteamento parcial. Vamos precisar de:
- montar a matriz aumentada,
- aplicar operações de linha (R_i ← R_i + α·R_j) pra zerar abaixo dos pivôs,
- e depois fazer substituição regressiva pra achar
.
Passo 2
Eliminação de Gauss sem pivoteamento
- Monta a matriz aumentada
- Usa o pivô
e zera abaixo:R2 R2 - 2,R1, R3 R3 + 3,R1, R4 R4 - 4,R1 ;Longrightarrow; 1 & 1 & -1 & 1 &mid&4 0 &1 &6 &-3 &mid&2 0 &4 &2 &4 &mid&14 0 &-6 &5 &-1 &mid&-9
- Segundo pivô
, zera embaixo:R4 R4 - 41-22,R3 ;Longrightarrow; 1 &1 &-1 &1 &mid&4 0 &1 &6 &-3 &mid&2 0 &0 &-22 &16 &mid&6 0 &0 &0 &tfrac11911 &mid&tfrac15611
- Terceiro pivô
, zera abaixo:
Agora a matriz está triangular superior.
Passo 3
Substituição regressiva sem pivô
Da última linha:
Da última linha:
Da linha 3:
Da linha 2:
Da linha 1:
Passo 4
Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial
- Na coluna 1, o maior valor em módulo é
da linha 4. Trocax1=tfrac181119,; x2=tfrac220119,; x3=tfrac81119,; x4=tfrac156119 . - Zera abaixo do pivô
(novas ). - Na coluna 2, escolhe o maior
entre as linhas 2–4; troca se precisar; zera abaixo. - Repete na coluna 3.
No fim você também chega à mesma matriz triangular e, pela substituição regressiva, aos mesmos valores