Utilize o método de eliminação sem e com pivoteamento parcial para resolver o seguinte sistema 4 times 4 :
l x1+x2-x3+x4=4 2 x1+3 x2+4 x3-x4=10 -3 x1+x2+5 x3+x4=2 4 x1-2 x2+x3+3 x4=7

Passo 1

Beleza, a gente quer resolver esse sistema 4×4
x1+x2-x3+x4=4, 2x1+3x2+4x3-x4=10, -3x1+x2+5x3+x4=2, 4x1-2x2+x3+3x4=7,
usando eliminação de Gauss sem pivoteamento e com pivoteamento parcial. Vamos precisar de:
  • montar a matriz aumentada,
  • aplicar operações de linha (R_i ← R_i + α·R_j) pra zerar abaixo dos pivôs,
  • e depois fazer substituição regressiva pra achar .

Passo 2

Eliminação de Gauss sem pivoteamento
  1. Monta a matriz aumentada
l[Amid br]= 1 & 1 & -1 & 1 &mid&4 2 & 3 & 4 & -1 &mid&10 -3 &1 &5 &1 &mid&2 4 &-2 &1 &3 &mid&7
  1. Usa o pivô R2 R2 - 2,R1, R3 R3 + 3,R1, R4 R4 - 4,R1 ;Longrightarrow; 1 & 1 & -1 & 1 &mid&4 0 &1 &6 &-3 &mid&2 0 &4 &2 &4 &mid&14 0 &-6 &5 &-1 &mid&-9 e zera abaixo:
R3 R3 - 4,R2, R4 R4 +6,R2, ;Longrightarrow; 1 & 1 & -1 & 1 &mid&4 0 &1 &6 &-3 &mid&2 0 &0 &-22 &16 &mid&6 0 &0 &41 &-19 &mid&3
  1. Segundo pivô R4 R4 - 41-22,R3 ;Longrightarrow; 1 &1 &-1 &1 &mid&4 0 &1 &6 &-3 &mid&2 0 &0 &-22 &16 &mid&6 0 &0 &0 &tfrac11911 &mid&tfrac15611 , zera embaixo:
  1. Terceiro pivô , zera abaixo:
Agora a matriz está triangular superior.

Passo 3

Substituição regressiva sem pivô
Da última linha:
11911,x4=15611 Longrightarrow x4=156119
Da linha 3:
-22,x3 +16,x4=6 Longrightarrow x3=16,x4-622 =81119
Da linha 2:
x2 +6,x3 -3,x4=2 ;Longrightarrow; x2=2-6l(tfrac81119r)+3l(tfrac156119r) =220119
Da linha 1:
x1 +x2 -x3 +x4=4 ;Longrightarrow; x1=4 -x2 +x3 -x4 =181119

Passo 4

Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial
  1. Na coluna 1, o maior valor em módulo é x1=tfrac181119,; x2=tfrac220119,; x3=tfrac81119,; x4=tfrac156119 da linha 4. Troca .
  2. Zera abaixo do pivô (novas ).
  3. Na coluna 2, escolhe o maior entre as linhas 2–4; troca se precisar; zera abaixo.
  4. Repete na coluna 3.
    No fim você também chega à mesma matriz triangular e, pela substituição regressiva, aos mesmos valores

Resposta

x1=181119, x2=220119, x3=81119, x4=156119

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