Determine por meio do MNR , corretamente, até a quinta casa decimal, as raízes da equação x^4-x-5=0.

Passo 1

O enunciado pede as raízes da equação
x^4-x-5=0
usando o Método de Newton–Raphson (MNR).
O conteúdo envolve aplicar a iteração
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
onde
f(x)=x^4-x-5, f'(x)=4x^3-1

Passo 2

Escrevemos a fórmula de iteração e escolhemos aproximações iniciais para as raízes reais:
xn+1=xn-xn^4-xn-54xn^3-1
Sabemos que há uma raiz positiva em [1,2] e uma negativa em [-2,-1]; vamos usar x0=1,5 para a positiva e x0=-1,5 para a negativa.

Passo 3

Cálculo da raiz positiva:
Começando em x0=1,5:
  1. f(1,5)=5,0625-1,5-5=-1,4375,
    f'(1,5)=4cdot(1,5)^3-1=12,5
    x1=1,5--1,437512,5=1,615
  2. f(1,615)approx6,80284-1,615-5=0,18784,
    f'(1,615)approx15,84913
    x2=1,615-0,1878415,84913=1,603143
  3. f(1,603143)approx0,002107,
    f'(1,603143)approx15,48075
    x3=1,603143-0,00210715,48075=1,603007
Como lvert x3-x2rvert<10^-5, paramos. Arredondando a cinco casas decimais, a raiz positiva é
xapprox1,60301

Passo 4

Cálculo da raiz negativa:
Começando em x0=-1,5:
  1. f(-1,5)=5,0625+1,5-5=1,5625,
    f'(-1,5)=-14,5
    x1=-1,5-1,5625-14,5=-1,392241
  2. f(-1,392241)approx0,15013,
    f'(-1,392241)approx-11,79468
    x2=-1,392241-0,15013-11,79468=-1,379517
  3. f(-1,379517)approx0,001181,
    f'(-1,379517)approx-11,50126
    x3=-1,379517-0,001181-11,50126=-1,379414
Como a diferença lvert x3-x2rvert<10^-5, paramos. Arredondando a cinco casas decimais, a raiz negativa é
xapprox-1,37941

Resposta

Raízes reais de x^4-x-5=0 (até a quinta casa decimal):
1,60301 e -1,37941.

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